\chapter{Force de Laplace}

Un conducteur parcouru par un courant et plongé dans un champ magnétique est le siège d'une force dite de Laplace.


Dans ce cours d'électromagnétisme appliqué à l'électrotechnique nous ne considérerons que les situations simples où les conducteurs sont rectilignes, les champs magnétiques uniformes, et les conducteurs perpendiculaires aux lignes de champ magnétique.

La force de Laplace se calcule par la formule~:

\[
\boxed{F = B \cdot I \cdot L}
\]

où $F$, la force, est en \unit{\newton}, $B$ est l'intensité du champ magnétique en \unit{\tesla}, $I$ l'intensité du courant dans le conducteur en \unit{\ampere} et $L$ la longueur du conducteur en \unit{\metre}.

$F$ est le résultat du produit vectoriel~: $\vv{F} = (\vv{I} \land \vv{B}) \cdot L$. Ainsi, $\vv{F}$ possède une direction perpendiculaire au plan défini par les vecteur $\vv{I}$ et $\vv{B}$, le sens étant donné par la progression d'un tire-bouchon (ou d'une vis ou d'un boulon) tourné dans le sens du repliement du vecteur $\vv{I}$ sur le vecteur $\vv{B}$ par le plus court chemin angulaire. C'est ce que l'on appelle la règle du tire-bouchon de Maxwell, comme le montre la figure \vref{fig:tire-bouchon_Maxwell}.

Attention~: Le produit vectoriel montre bien que si le conducteur est colinéaire aux lignes de champ magnétique, alors la force est nulle.




\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=3]{images/tire-bouchon-Maxwell_2.jpg}
\caption{Règle du tire-bouchon de Maxwell   \label{fig:tire-bouchon_Maxwell}}
\end{figure}

Pour plus de facilité, on utilisera la \og règle des trois doigts de la main droite \fg{} comme le montre la figure \vref{fig:trois_doigts_main_droite}.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.2]{images/regle_main_droite.png}
\caption{Règle des trois doigts de la main droite   \label{fig:trois_doigts_main_droite}}
\end{figure}


La force de Laplace permet d'expliquer le fonctionnement des moteurs électriques. Un moteur électrique est \og simplement \fg{} un dispositif technologique dans lequel on créé un champ magnétique qui baigne des conducteurs dans lesquels passe une intensité. Sur ces conducteurs vont s'exercer des forces de Laplace qui vont créer un couple qui va mettre le rotor du moteur en rotation.

Voici deux courtes vidéo qui illustrent la règle du tire-bouchon de Maxwell~:

\begin{itemize}
\item \href{http://mach.elec.free.fr/video/tire_bouchon_de_Maxwell.mp4}{vidéo \no 1 sur la règle du tire-bouchon de Maxwell}
\item \href{http://mach.elec.free.fr/video/produit_vectoriel.mp4}{vidéo \no 2 sur la règle du tire-bouchon de Maxwell}
\end{itemize}

\subsubsection{Représentation des vecteurs perpendiculaires à un plan}

Que ce soit en mathématique ou en physique, on dessine souvent les deux vecteurs dont on va faire le produit vectoriel dans le plan de la page sur laquelle sont données les explications. Le vecteur résultant possède alors une direction perpendiculaire à la page. Si le vecteur est dirigé de l'avant vers l'arrière de la feuille, on le représente par ce symbole~:

\[
 \bigoplus 
\]

On retient ce symbole $\bigoplus$ en sachant ce qu'il signifie~: l'observation de la flèche de la figure \vref{fig:fleche} depuis la gauche. On distingue alors les quatre plumes de l'empennage disposées en croix. On aperçoit également le contour extérieur de la pointe conique. La flèche s'éloigne de nous, comme le vecteur qui rentre dans la feuille en étant dirigé de l'avant vers l'arrière de celle-ci.


Si, au contraire, le vecteur est dirigé de l'arrière vers l'avant de la page, on le représente par ce symbole~:

\[
\bigodot
\]

On retiendra ce symbole $\bigodot$ en se souvenant qu'il rappelle l'observation de la flèche de la figure \vref{fig:fleche} depuis la droite. On ne distingue alors que la pointe conique qui masque l'empennage. La flèche vient vers nous, comme le vecteur qui sort de la feuille en se dirigeant de l'arrière vers l'avant.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.6]{images/fleche.jpg}
\caption{Flèche de tir à l'arc   \label{fig:fleche}}
\end{figure}


\section{Exercices}

\subsection{Forces entre deux fils parallèles}

Quelle est la force par unité de longueur qui s'exerce sur chacun des deux fils parallèles très longs, séparés par une distance de \qty{1}{\metre} dans l'air et dans lesquels circulent des courants de même intensité, \qty{1,0}{\ampere}, dans des sens opposés~?


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{images/fils1.jpg}
\caption{Deux fils parallèles où circulent des courants. Chaque fil baigne dans le champ magnétique $B$ de l'autre.}
\label{fig:fil1}
\end{figure}





Pour l'air, on a~: $\mu_{\text{air}} \simeq \mu_0$. La figure \vref{fig:fil1} montre comment le champ du conducteur 2 s'étend jusqu'au conducteur 1, situé à une distance $d$, où la valeur du champ est donnée par application du théorème d'Ampère en prenant pour contour d'Ampère un cercle de rayon $d$ centré sur le fil parcouru par $I_2$~:

\[
B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d}
\]

La règle du tire-bouchon de Maxwell nous montre que ce champ est dirigé vers la gauche (voir la figure \vref{fig:fil1}). Si $l$ est la longueur d'un segment du fil 1, la force à laquelle il est soumis (avec ici u = 90°) est donnée par~: $F = B I l$. Alors la force par unité de longueur du fil 2 sur le fil 1 est dirigée vers le bas avec un module~:

\[
F = I_1 B_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \times 1 \times 1}{2 \pi \times 1} = \qty{2 e-7}{\newton}
\]


Cette expression est symétrique, donc une force de même module agit sur l'unité de longueur du fil 2 à cause du champ du fil 1~; mais ces forces sont de sens opposés car $\vv{B_1}$ est vers la droite et la force exercée par le conducteur 1 sur 2 (dans la direction de $ \vv{I \mathrm{d} l} \land \vv{B}$) est vers le haut dans le plan.  Les fils parallèles transportant des courants de même sens s'attirent comme le montre la figure \vref{fig:fil2}.




\begin{figure}
\centering
\subcaptionbox{Quand les courants sont de sens opposés, les conducteurs se repoussent.\label{fig:fil2}}
[.4\textwidth]{\includegraphics[scale=0.9]{images/fils2.jpg}}
\hspace{1.4cm}
\subcaptionbox{Lorsque les courants sont dans le même sens, les conducteurs s'attirent.\label{fig:fil3}}
[.4\textwidth]{\includegraphics[scale=1.5]{images/fils3.jpg}}
\caption{Forces entre deux fils rectilignes suivant le sens du courant.}\label{fig:fil4}
\end{figure}


Si l'on inverse le sens de l'un des courants, le sens de son champ est inversé et la force agissant sur l'autre fil s'inverse aussi. Donc, des fils parallèles transportant des courants de sens opposés se repoussent comme le montre la figure \vref{fig:fil4}.


Dans la pratique, il est impossible d'avoir des fils infiniment longs~; mais pour des fils de longueur supérieure à $10 \times d$, où $d$ est l'écartement entre les fils, la formule établie ci-dessus est une excellente approximation permettant un calcul simple.

\subsection{Court-circuit}

Deux barres de cuivre espacées de \qty{10}{\centi\meter} et longues de \qty{1,5}{\meter} se trouvent dans un tableau électrique industriel. Un court-circuit survient, l'intensité atteint \qty{200}{\kilo\ampere} avant qu'un disjoncteur ne coupe ce courant.

Calculer approximativement la force subie par les barres.

Les barres ne sont certes pas de longueur infinie, mais on peut calculer approximativement le champ magnétique créé par le courant circulant dans une barre à l'emplacement de l'autre barre au moyen du théorème d'Ampère~:

\[
B = \mu_0 \times \frac{I}{2 \cdot \pi \cdot R} = 4 \pi 10^{-7} \cdot \frac{200\cdot 10^3}{2 \cdot \pi \cdot 0,1} = \qty{0,4}{\tesla} 
\]

On en déduit la force sur une barre de longueur \qty{1,5}{\metre}~:

\[
F = B \cdot I \cdot L = 0,4 \times 200\cdot 10^3 \times 1,5 = \qty{120}{\kilo\newton} \simeq 12 \; \text{tonne-force}
\]

On voit la nécessité de fixer solidement de telles barres afin qu'elles résistent aux efforts électrodynamiques~!




\subsection{Forces sur les côté d'une spire}

La figure \vref{fig:spire11} montre une spire rectangulaire plate et horizontale placée dans un champ magnétique uniforme et vertical de \qty{0,10}{\tesla}. Le côté $AB$ mesure \qty{30}{\centi\metre} et le côté $BC$ mesure \qty{20}{\centi\metre}.

Déterminer les forces agissant sur les côtés $AB$, $BC$ et $CD$ de la spire lorsqu'elle est parcourue par un courant de \qty{1,0}{\ampere}.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.7]{images/spire11.jpg}
\caption{ Spire	rectangulaire parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique vertical et uniforme.}
\label{fig:spire11}
\end{figure}



\vspace{1cm}

Le courant circule dans le sens des aiguilles d'une montre dans le circuit à partir de la borne positive de la pile. La direction de la force sur chaque segment est celle de $\vv{I \mathrm{d} \ell} \land  \vv{B}$ et elle est montrée dans la figure \vref{fig:spire21}.

La force qui agit sur $BC$ est~:

\[
F_{BC} = B I \ell  \sin \theta = (\qty{0,10}{\tesla}) \cdot (\qty{1,0}{\ampere}) \cdot(\qty{20}{\centi\metre}) \cdot (\sin \qty{90}{\degree}) = \qty{0,020}{\newton}
\]

Celles qui agissent sur les côtés $AB$ et $CD$ est~:

\[
F_{AB} = F_{CD} = B I \ell  \sin \theta = (\qty{0,10}{\tesla}) \cdot (\qty{1,0}{\ampere}) \cdot(\qty{30}{\centi\metre}) \cdot (\sin \qty{90}{\degree}) = \qty{0,030}{\newton}
\]



Vérification rapide~: Un fil de \qty{1}{\metre} perpendiculaire à un champ $\vv{B}$ de \qty{1}{\tesla} et parcouru par un courant de \qty{1}{\ampere} subit une force de \qty{1}{\newton}. Ainsi, pour le côté $BC$, si la longueur est \qty{0,2}{\metre}, la force est divisée par 5 et devient \qty{0,2}{\newton}. Si maintenant le champ est \qty{0,1}{\tesla}, la force est à nouveau divisée, par 10 maintenant, et devient \qty{0,02}{\newton}.

Même vérification pour les côtés $AB$ et $CD$.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=2]{images/spire21.jpg}
\caption{Les forces sur les segments métalliques sont partout orientées vers l'intérieur de la spire.}
\label{fig:spire21}
\end{figure}


\subsection{Déplacement d'un aimant}


On considère deux aimants parallélépipédiques posés sur une table. Ces deux aimants sont alignés, leurs pôles nord et sud se font face. Ils sont maintenus en place de telle sorte que leurs pôles ne se touchent pas. On éloigne très lentement les deux aimants l'un de l'autre en les maintenant parallèles entre eux. On laisse un aimant fixe, on déplace l'autre et pour ce faire, on doit exercer une force supposée constante de \qty{50}{\newton} sur cet aimant. On négligera les frottements.

 \label{travail_aimant} Calculer le travail fourni lorsque l'aimant a été déplacé de \qty{1}{\centi\meter}.

 \label{energie_aimant} Que devient ce travail~?



\vspace{1.5cm}


\subsubsection{Solution~: Déplacement d'un aimant}

%\begin{center}Déplacement d'un aimant\end{center}

%\ref{travail_aimant}  \hspace{0.3cm} 

$W = F \times d = 50 \cdot 1.10^{-2} = \qty{0,5}{\joule}$

%\ref{energie_aimant}  \hspace{0.3cm} 

\vspace{0.5cm}

Le travail fourni pour déplacer l'aimant est transformé en énergie potentielle magnétique contenue dans le champ magnétique entourant les deux aimants.

\subsubsection{Fabrication d'un aimant, énergie potentielle}

Pour fabriquer un aimant, il faut deux choses~:

\begin{itemize}
\item un matériau ayant un champ magnétique B rémanent élevé (matériau \og dur \fg)~;
\item un champ magnétique initial.
\end{itemize}

Pour obtenir le champ magnétique initial, on fait passer du courant dans un ensemble de spires colinéaires, une bobine~; cela créé un champ magnétique suivant l'axe de la bobine. Ce champ va permettre de fabriquer un aimant permanent. Le magnétisme d'un aimant permanent résulte de l'addition des champs magnétiques élémentaires produits par le moment magnétique orbital et le moment magnétique de spin des électrons du matériau que l'on souhaite aimanter.

Pour un aimant permanent, ces spins sont parallèles, ainsi ces champs magnétiques élémentaires s'additionnent. Pour créer un aimant permanent, il faut soumettre un matériau adéquat à un champ magnétique suffisamment important pour aligner les spins des électrons. Si les spins restent alignés une fois le champ magnétique
inducteur disparu, on obtient un aimant permanent.


Une fois créé, celui-ci ne consomme pas d'énergie. Un aimant finit progressivement par perdre son aimantation. Cette perte est très variable, elle dépend du matériau, de la température, des conditions de fonctionnement de l'ensemble magnétique dont l'aimant fait partie. Cela peut aller de quelques pour cents par an à quelques pour cents par millénaire.


L'aimantation d'un matériau dur lui transfère de l'énergie qu'il conserve sous forme d'énergie potentielle emmagasinée dans le champ magnétique. Pour employer une analogie, c'est comme lorsque l'on place un objet plus haut qu'il ne l'était dans un champ gravitationnel ou lorsque l'on remonte le ressort d'une pendule ou d'un moteur \og à ressort \fg. Si l'on rapproche deux aimants, leurs pôles nord se faisant face, l'énergie potentielle magnétique augmente. Si on les lâche, les aimants vont se repousser, gagnant de l'énergie cinétique tandis que l'énergie potentielle diminue. Ils vont se retourner et se coller pôle nord contre pôle sud, dans un état où le champ magnétique sera plus faible qu'au départ. C'est un principe général en physique~: des particules, des objets, se déplacent, se réorganisent ou encore changent d'état spontanément de telle sorte que l'état final soit un état de moindre énergie.


Dans le cas d'aimants proches que l'on lâche et qui se déplacent spontanément, l'énergie nécessaire à leur déplacement est puisée dans leur énergie potentielle, c'est-à-dire leur champ magnétique. À la fin du déplacement, le champ magnétique autour des aimants est moins intense. Mais si on décolle des aimants, on fournit un travail, on restitue de l'énergie au champ magnétique, (on remonte à nouveau le ressort). Du fait de l'agitation atomique et moléculaire qu'elle engendre, une température élevée va perturber l'alignement des spins et provoquer une désaimantation progressive ou très rapide. Pour le fer, cette température, dite de Curie, est de \qty{770}{\celsius}.






\subsection{Sonnerie}

Une sonnerie électrique de porte est essentiellement un électroaimant interrompu automatiquement. En utilisant la figure \vref{fig:sonnerie}, décrire son fonctionnement.

\vspace{0.5cm}

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.7]{images/sonnerie2.jpg}
\caption{Sonnerie.}
\label{fig:sonnerie}
\end{figure}