\chapter{Loi de Faraday -- Lenz}



\section{Loi de Faraday}


Si un conducteur électrique est baigné par un flux variable au cours du temps, alors il apparaît aux bornes du conducteur une f.é.m. donnée par la formule~:

\[
\boxed{\lvert e \rvert = \frac{\mathrm d\Phi(t)}{\mathrm dt}}
\]


Généralement la variation du flux est linéaire au cours du temps, ce qui conduit à la formule plus simple~:

\[
\boxed{\lvert e \rvert = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Phi_2 - \Phi_1}{t_2 - t_1}}
\]

Cette formule  est suffisante pour la majorité des cas que nous rencontrerons.




\section{Loi de Lenz}


Le signe de $e$ est donné par la loi de Lenz qui s'énonce ainsi~: 

la f.é.m. qui apparaît tend à faire circuler un courant qui s'oppose à la cause qui lui donne naissance.

Cette \og opposition \fg{} à la cause qui donne naissance au courant peut être interprétée~:

\begin{itemize}
\item soit comme l'apparition d'un champ magnétique $\vv{B}_{\text{induit}}$ antagoniste au champ préexistant (le champ inducteur)~;
\item soit comme l'apparition d'une force de Laplace qui s'oppose à la force que l'on exerce sur un conducteur pour le mettre en mouvement et le maintenir à une certaine vitesse.
\end{itemize}

Dans les cas simple de l'électrotechnique où un conducteur rectiligne possède un vecteur vitesse relative $\vv{V}$ perpendiculaire au vecteur $\vv{B}$, la loi de Lenz qui permet de connaître le sens dans lequel circulerait le courant induit (la place de la borne $+$) s'applique par la règle des trois doigts de la main gauche comme le montre la figure \vref{fig:trois_doigts_main_gauche}.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{images/regle_trois_doigts_main_gauche.png}
\caption{Règle des trois doigts de la main gauche   \label{fig:trois_doigts_main_gauche}}
\end{figure}


L'animation suivante permet d'expérimenter les effets de la variation de flux sur la tension~: \href{https://phet.colorado.edu/sims/html/faradays-law/latest/faradays-law_en.html}{animation montrant la f.é.m. induite}

\section{Loi de Faraday appliqué à un conducteur rectiligne}

Lorsqu'un conducteur rectiligne est en mouvement relatif par rapport à un champ magnétique et que la vitesse $\vv{V}$ est perpendiculaire au vecteur champ magnétique $\vv{B}$, on montre que la f.é.m. qui apparaît aux bornes du conducteur est~:

\[
\boxed{U = B \cdot L \cdot V}
\]

avec $U$ en \unit{\volt}, $B$ en \unit{\tesla}, $L$ en \unit{\metre} et $V$ en \unit{\metre\per\second}.

La position de la borne $+$ est donnée par la règle des trois doigts de la main gauche, voir figure \vref{fig:trois_doigts_main_gauche}.

\bsc{Attention~:} Il est nécessaire que le conducteur traverse, coupe des lignes de champ magnétique lors de son déplacement relatif par rapport au champ magnétique pour qu'une f.é.m. apparaisse. Si le déplacement se fait de manière à ce que le conducteur reste tangent aux lignes de champ, aucune f.é.m. n'est créée.

\section{Principe du flux maximal}

Tout circuit parcouru par un courant tend à embrasser le maximum de flux. La position correspondant à ce flux maximal est à énergie potentielle minimale, c'est donc une position d'équilibre stable.

Ainsi, un circuit rigide mobile parcouru par un courant d'intensité constante se déplace spontanément, s'il le peut, de telle manière que le flux du champ magnétique qui le traverse soit maximal.

Un circuit électrique déformable parcouru par un courant électrique prend une forme telle que le flux de champ magnétique qui le traverse soit maximal. Il s'agit généralement d'une forme circulaire s'il n'y a pas de contrainte particulière quant à la géométrie.

Le recours  au principe du flux maximal permet d'économiser une réflexion souvent pénible quant à ce qui se passe au niveau des f.é.m. induites et  forces de Laplace dans les conducteurs. Un bon exemple en est la compréhension du fonctionnement du moteur asynchrone, plus rapide à l'aide du principe du flux maximal qu'en détaillant l'effet des forces de Laplace dans les conducteurs rotoriques.


\section{Exercices}

\subsection{Force électromotrice induite}

Un avion vole horizontalement en direction Est - Ouest, à la vitesse $v = \SI{800}{\kilo\meter\per\hour}$, dans une région où le champ magnétique terrestre est horizontal, dirigé Sud -- Nord, et de valeur~: $B = \SI{50}{\micro\tesla}$.

Comme le montre la figure \vref{fig:avion}, cet avion porte une antenne de \qty{20}{\meter} de long faisant un angle de $\qty{30}{\degree}$ avec l'horizontale.



\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=1.3, angle=4]{images/avion.jpg}
\caption{Avion et son antenne. \label{fig:avion}}
\end{figure}

Calculer la f.é.m. induite entre les deux extrémités de cette antenne.



  
\subsubsection{Solution~: Force électromotrice induite}




La figure \vref{fig:solution_avion} montre clairement comment sont positionnées les lignes du champ magnétique terrestre $\vv{B}$ par rapport à l'antenne de l'avion. On en déduit~:

\[
e = B \times \ell \times v \times \sin ( \qty{30}{\degree}) = 50.10^{-6} \cdot 20 \cdot 800 \cdot \frac{10^3}{3600} \cdot \frac{1}{2} = \qty{0,111}{\volt}
\]


\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\includegraphics[scale=0.6]{images/terre2.jpg}
\end{minipage}
\hspace{1cm} % eventuellement
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{overpic}[scale=0.9, angle=4]{images/avion.jpg}
 \put (67,23){\color{red}\huge$\bigoplus$}
 \put (73,23) {\color{red}$\vv{B}$}
\end{overpic}
\end{minipage}
\caption{Les méridiens sont les lignes de champ $B$ à la déclinaison près.\label{fig:solution_avion}}
\end{figure}



\begin{comment}
\begin{overpic}[scale=1.5, angle=4]{avion.jpg}
 \put (70,25){\color{red}\huge$\bigoplus$}
 \put (75,27) {\color{red}$\vv{B}$}
\end{overpic}

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{images/terre2.jpg}
\caption{Les méridiens sont des lignes de champ orientées Sud -- Nord que coupe l'antenne de l'avion.}
\label{fig:avion}
\end{figure}
\end{comment}
















\subsection{Freinage par courant de Foucault}


On laisse tomber un anneau circulaire en cuivre tout au long d'un tube creux où règne un champ magnétique $\vv{B}$ radial, le champ magnétique possède une intensité constante dans le tube creux.





\vspace{0.5cm}

On donne~:
%\begin{multicols}{2}
\begin{itemize}
\item $B=\qty{0,5}{\tesla}$~;
\item longueur de l'anneau~:  $\ell = \qty{12}{\centi\meter}$;
\item section de l'anneau~: \qty{0,2}{\centi\meter\squared}~;
%\columnbreak

\item résistivité du cuivre~: $\rho = \qty{1,72e-8}{\ohm\meter}$~;
\item masse volumique du cuivre~: $d = \qty{8,72e3}{\kilogram\per\cubic\meter}$~;
\item accélération de la pesanteur~: $g = \qty{9,81}{\meter\per\second\squared}$.
\end{itemize}
%\end{multicols}


\vspace{0.5cm}


\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=2]{images/exo_tube_anneau.jpg}
\caption{Freinage de la chute d'un anneau.}
\label{fig:anneau}
\end{figure}

%\begin{questions}


 \label{question:anneau} Calculer $v_{\text{lim}}$, la vitesse limite atteinte par l'anneau en \unit{\meter\per\second}.


\newpage 



\subsubsection{Solution~: Freinage par courant de Foucault}

%\begin{center}Freinage par courant de Foucault\end{center}


Le \og truc \fg{} ici est de couper l'anneau par la pensée et de le déplier en une tige rectiligne. On retrouve alors la situation vue en cours. La différence c'est que dans le cas de l'anneau le courant peut circuler.


Ce mouvement de chute entraîne l'apparition d'une f.é.m. au sein de l'anneau, laquelle fait circuler un courant. D'après la loi de Lenz, ce courant va engendrer une force de Laplace qui va s'opposer à la pesanteur.




\vspace{0.5cm}

La force de pesanteur, exercée vers le bas, est~: $F_1 = m \times g = \text{volume de l'anneau} \times d \times g =\ell \times S \times d  \times g$

\vspace{0.3cm}

La f.é.m. dans l'anneau~: $e = B \times \ell \times v$

\vspace{0.3cm}

Résistance ohmique de l'anneau~: $R = \rho \displaystyle \frac{\ell}{S}$

\vspace{0.4cm}

Intensité du courant dans l'anneau~: $i =\displaystyle \frac{E}{R} = \displaystyle \frac{B \times v \times S}{\rho}$

\vspace{0.4cm}

Force de Laplace exercée vers le haut~: $F_2 = B \times i \times \ell = \displaystyle \frac{B^2 \times \ell \times v \times S}{\rho}$

\vspace{0.5cm}

La vitesse limite est atteinte lorsque $F_1 = F_2$, soit~:

\[
v_{\text{lim}} = \frac{d \times g \times \rho}{B^2} = \frac{8,62 \cdot 10^3 \times 9,81 \times 1,72 \cdot 10^{-8}}{25 \cdot 10^{-2}} = \qty{5,8}{\milli\meter\per\second}
\]

\vspace{0.4cm}
Remarques~: 
\begin{enumerate}
\item Nous n'avons pas besoin de connaître la longueur de l'anneau, ni sa section pour répondre à la question.

\item L'application de la règle de la main gauche nous indique que le courant de Foucault circulera dans le sens trigonométrique. L'application de la règle de la main droite permet de s'assurer que la force de Laplace exercée sur un élément de longueur $\mathrm{d} \ell$ est bien dirigée vers le haut.
\end{enumerate}


\href{http://mach.elec.free.fr/video/freinage_bande_cuivre_circulaire.mp4}{La vidéo suivante} permet de visualiser le freinage par courant de Foucault sur une bande circulaire de cuivre, situation semblable à celle de l'exercice ci-dessus.




\subsection{Générateur de Faraday}




Michael Faraday (1791 - 1867) réalisa en 1832 la première expérience démontrant qu'on pouvait produire un courant électrique par conversion directe. Le fluide conducteur en mouvement est ici constitué par l'eau salée de la Tamise~; le champ magnétique externe est celui de la Terre et les électrodes qui permettent de recueillir le courant sont des plaques métalliques immergées dans le fleuve au pont \og Waterloo bridge \fg{} à Londres. Faraday pensait que l'eau de mer mise en mouvement par la marée était le siège d'une force électromotrice, car elle était \og baignée \fg{} par le champ magnétique terrestre. Cependant, l'équipement de l'époque ne permit pas de mettre en évidence la trop faible f.é.m. générée, et c'est en 1851 que son compatriote le Dr. William Hyde Wollaston mesura effectivement, dans l'embouchure saumâtre du fleuve, une tension induite par la marée de la Manche. Faraday venait cependant d'inventer les générateurs \og magnétohydrodynamiques \fg{} ou \og MHD \fg.

\vspace{0.5cm}


\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.45]{images/pont_waterloo_3.jpg}
\caption{Expérience du pont de Waterloo.}
\label{fig:pont_waterloo}
\end{figure}

Calculer la f.é.m. recueillie aux bornes des plaques en prenant en compte les valeurs suivantes~:

\begin{itemize}
\item distance entre les deux plaques~: \qty{290}{\meter}~;
\item valeur de la composante verticale du champ magnétique terrestre au niveau du pont~: \qty{20}{\micro\tesla}~;
\item vitesse de l'eau de mer à l'instant de l'expérience~: \qty{5}{\kilo\meter\per\hour}.
\end{itemize}


\vspace{1.5cm}


\subsubsection{Solution~: Générateur de Faraday}

On va se servir de la relation $e = B\times \ell \times v$ où $\ell = \qty{290}{\meter}$ et où $v = \frac{5.10^3}{3600} \simeq \qty{1,4}{\meter\per\second}$.

On obtient donc~:

\[
e = B\times \ell \times v = 20.10^{-6} \cdot 290 \cdot 1,4 \simeq \qty{8}{\milli\volt}
\]

On peut imaginer qu'en 1832 les voltmètres de l'époque étaient trop peu sensibles pour mesurer des millivolts~!

En tout état de cause, même si l'idée peut paraître ingénieuse, ce n'est pas avec un tel générateur qu'on va pouvoir alimenter Londres en énergie électrique\dots{} Mais le concept est intéressant et il a donné lieu à quelque réalisations intéressantes dans les années 1960 à 1970, en remplaçant l'eau de mer par un gaz ionisé éjecté par une tuyère à des vitesses de l'ordre de \qty{4000}{\metre\per\second}.

\subsubsection{Réversibilité}

Si Faraday avait pu brancher un générateur de tension entre les deux plaques pour faire circuler un courant électrique très important dans l'eau salée et si l'intensité du champ magnétique terrestre était plus forte, Faraday aurait pu faire couler la Tamise dans le sens qu'il aurait souhaité~!

Les deux vidéos suivantes illustrent le principe de telles pompes MHD~:

\begin{itemize}
\item \href{http://mach.elec.free.fr/video/pompe.mp4}{pompage d'eau salée}
\item \href{http://mach.elec.free.fr/video/pompe_galinstan.mp4}{pompage de métal liquide}
\end{itemize}


Dans la seconde vidéo, le fluide pompé n'est pas de l'eau salé, mais du \og galinstan \fg{} un métal liquide à la température ordinaire (son point de fusion est de \qty{-19}{\celsius}). Ce métal est un alliage de gallium, d'indium et d'étain. Pour de telles expériences, le galinstan remplace désormais le mercure jugé trop toxique.

\vspace{0.3cm}

La figure \vref{machine_MHD} illustre la réversibilité d'une telle machine magnétohydrodynamique (MHD). Pour les deux figures, la vitesse du fluide est figurée par la flèche bleue au-dessus de l'aimant.

La sous-figure \vref{gene_MHD} montre l'aspect générateur tel qu'imaginé par Faraday~: on peut extraire de l'énergie électrique d'un fluide conducteur en mouvement. La règle des trois doigts de la main gauche donne le sens du courant induit.

La sous-figure \vref{pome_MHD} montre l'aspect moteur ou plus exactement \og pompe \fg. En faisant passer un courant dans un fluide conducteur soumis à un champ magnétique orienté à \qty{90}{\degree} par rapport à l'intensité, il apparaît une force de Laplace dans le fluide qui met ce dernier en mouvement. La règle des trois doigts de la main droite permet de déterminer le sens de la vitesse du fluide.

De telles pompes sont envisagées pour assurer la circulation du sodium liquide qui serait employé comme fluide caloporteur dans de futurs réacteurs nucléaires.

\begin{figure}
\centering
\subcaptionbox{générateur MHD~: le mouvement du fluide dans le champ magnétique de l'aimant induit un courant entre les électrodes du dispositif.\label{gene_MHD}}
[.4\textwidth]{\includegraphics[scale=3]{images/gene_mhd.jpg}}
\hspace{0.8cm}
\subcaptionbox{pompe MHD~: le courant circulant entre les électrodes provoque le mouvement du fluide soumis au champ magnétique de l'aimant.\label{pome_MHD}}
[.4\textwidth]{\includegraphics[scale=3]{images/moteur_mhd.jpg}}
\caption{Machine magnétohydrodynamique (MHD)}\label{machine_MHD}
\end{figure}



\subsection{Loch électromagnétique}

Le loch est un instrument qui sert à mesurer la vitesse de déplacement d'un navire à la surface de la mer, par rapport à l'eau. La connaissance exacte de cette vitesse et donc de la distance parcourue ont toujours représenté des informations très importantes pour le navigateur.

Le principe de fonctionnement du loch électromagnétique est celui du générateur MHD de la figure \vref{gene_MHD}. Lorsque le navire avance, de l'eau de mer se déplace entre les deux électrodes en rouges de la figure \vref{loch}, un électroaimant génère un champ magnétique entre les deux électrodes. La variation de flux subie par l'eau en mouvement, eau qui coupe, qui traverse des lignes de champ, génère une f.é.m. entre les deux électrodes. La mesure de cette f.é.m. permet la mesure de la vitesse, car la loi qui relie cette f.é.m. à la vitesse du navire est tout à fait linéaire. La f.é.m. qui apparaît entre les deux électrodes vaut environ \qty{0,1}{\volt} par n\oe ud de vitesse du navire. 

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=2]{images/loch.jpg}
\caption{Schéma de principe d'un loch électromagnétique}\label{loch}
\end{figure}