\chapter{Champs magnétiques tournant}

\section{Pourquoi des champs magnétiques tournants ?}

Pourquoi diable s'embêter à créer des champs magnétiques tournants~? La vie n'est-elle pas déjà assez compliquée comme cela sans que l'on veuille en rajouter~? Première réponse~: pour la beauté de la chose, ou encore, comme aurait dit le mathématicien Jean Dieudonné, \og pour l'honneur de l'esprit humain \fg.

D'une manière plus pratique, disposer de champs magnétiques tournants permet de construire des moteurs électriques plus performants que les moteurs à courant continu~: les moteurs synchrones et asynchrones.



\section{Introduction aux champs magnétiques tournants}

Maurice Leblanc (1857 - 1923) a montré qu'une bobine traversée par un courant alternatif sinusoïdal produisait deux champs magnétiques tournant en sens inverses. Le champ magnétique alternatif qui est créé par la bobine en un point de son axe peut être décomposé en deux champs magnétiques tournants en sens inverse l'un de l'autre avec une vitesse égale, l'intensité de chacun d'eux étant égale à la moitié de l'intensité maximum du champ alternatif.

\subsection{Théorème de Leblanc}
 
\noindent\fbox{\parbox{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}{ Un enroulement, comprenant $p$ bobines identiques \textit{régulièrement} disposées le long d'un entrefer, créant un champ magnétique $\vv{B}$ à répartition spatiale instantanée sinusoïdale, parcouru par un courant alternatif sinusoïdal, donne naissance à deux champs glissants de même amplitude maximale, de même nombre de paires de pôles $p$ et de pulsations de rotation opposées.}}

\vspace{0.3cm}

La vitesse des deux champs magnétiques est~:

\[
N = \frac{f}{p}
\]

avec $N$ en tour$\cdot \unit{\per\second}$. On appelle $N$ la \textit{vitesse de synchronisme}.
 
\vspace{0.5cm}

Pour bien visualiser la création de deux champs magnétiques tournant en sens inverse l'un de l'autre, regarder très attentivement \href{http://mach.elec.free.fr/video/Leblanc.mp4}{cette vidéo}.



Vous pouvez grossir l'image à l'aide de la combinaison de touches Ctrl et + ou au contraire la diminuer Clrt et -.

Plaçons une spire mobile autour de son axe dans le prolongement d'une bobine alimentée par une tension alternative sinusoïdale. Ce rotor élémentaire, la spire, sera également sollicitée par les deux champs tournants en sens inverse~: appelons les A et B. Le \og moteur \fg{} élémentaire ainsi constitué ne démarre donc jamais spontanément, même à vide. Si nous mettons en mouvement la spire en la lançant dans le sens trigonométrique par exemple, il se développe deux couples moteurs dus aux champs tournants. Le couple dû au champ A qui tourne dans le même sens que la spire est le plus grand, il tend à augmenter à mesure que la vitesse due la spire augmente. Le second couple, au contraire, reste presque nul. Lorsque le moteur a atteint sa vitesse de régime, la spire tourne par rapport à B avec une vitesse sensiblement double de celle de synchronisme. Le champ B induit dans la spire des courants de fréquence double de celle du courant d'alimentation, ces courants produisent un champ magnétique antagoniste du champ B et l'annulent pratiquement.


\href{https://www.youtube.com/watch?v=dX5MYndBd0A&t=189s}{vidéo illustrant le théorème de Leblanc} 


\subsection{Inconvénient de tels champs}

On peut réaliser un moteur asynchrone monophasé avec cet unique bobinage, mais il aura le gros inconvénient de ne pas démarrer tout seul. Le rotor sera sollicité dans les deux sens de rotation par les deux champs. Pour démarrer une tondeuse à gazon électrique, imaginez-vous devoir brancher la tondeuse, la retourner et lancer la lame à la main\dots{} \'Evidemment un tel moteur aurait assez peu de succès~!


Pour lui permettre de démarrer tout seul, sans artifice dangereux, il faut que le rotor d'un moteur asynchrone monophasé ne soit baigné que par \textit{un seul champ tournant}. 


\subsection{Un seul champ tournant} 

Comment faire pour obtenir un seul champ magnétique qui tourne~? On peut réaliser un montage assez simple permettant de résoudre cette question. Il suffit de deux bobines dont les axes seront décalés de 90° et que l'on alimentera une après l'autre en inversant le sens du courant à chaque fois. Observer attentivement la suite des quatre figures suivantes~: ça tourne~!

\href{http://mach.elec.free.fr/divers/Champ_tournant.html}{Voir cette animation}.

\vspace{-0.5cm}

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]
 \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}] 
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
	(0,-4)to[cute inductor,l_=$L''$](0,-2)
	;
	\draw (-2,0)--(-2,-1)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,european voltage source,v=$U$](-4,-1)--(-4,0);
	\draw[->,>=stealth](-1,0)--(1,0);
	\draw(0,0)node[circ]{};
	\draw(2,2)node{};
	\draw(-4.2,-4.2)node{};
	
	\end{circuitikz}
	\caption{\label{champ1} Seule la bobine de gauche est alimentée, le champ magnétique créé au point noir est parallèle à son axe, horizontal dirigé vers la droite}
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}




\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}]] 
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
    (0,-4)to[cute inductor,l=$L''$](0,-2)
	;
	\draw (0,-4)--(-1,-4)
	(-1,-2)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,european voltage source,v_=$U$](-1,-4)
	(-1,-2)--(0,-2);
	\draw[->,>=stealth](0,1)--(0,-1);
	\draw(0,0)node[circ]{};
	\draw(2,2)node{};
	\draw(-4.2,-4.2)node{};
	\end{circuitikz}
	\caption{\label{champ2} Seule la bobine du bas est alimentée, le champ magnétique créé au point noir est désormais  vertical dirigé vers le bas}
\end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}] 
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
    (0,-4)to[cute inductor,l=$L''$](0,-2)
	;
	\draw (-2,0)--(-2,-1)
	(-4,-1)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,european voltage source,v_=$U$](-2,-1)
	(-4,-1)--(-4,0);
	
	\draw[->,>=stealth](1,0)--(-1,0);
	\draw(0,0)node[circ]{};
	\draw(2,2)node{};
	\draw(-4.2,-4.2)node{};
	\end{circuitikz}
	\caption{\label{champ3} Seule la bobine de gauche est alimentée, la tension est inversée par rapport à la figure \ref{champ1}, le champ magnétique créé au point noir est parallèle à son axe, horizontal dirigé vers la gauche}
\end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}



\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}] 
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
	(0,-4)to[cute inductor,l_=$L''$](0,-2)
	;
	
	\draw (0,-4)--(-2,-4)
	(-2,-4)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,european voltage source,v=$U$](-2,-2)
	(-2,-2)--(0,-2);
	
	\draw[->,>=stealth](0,-1)--(0,1);
	\draw(0,0)node[circ]{};
	\draw(2,2)node{};
	\draw(-4.2,-4.2)node{};
	\end{circuitikz}
	\caption{\label{champ4} Seule la bobine du bas est alimentée, la tension est inversée par rapport à la figure \ref{champ2}, le champ magnétique créé au point noir est désormais  vertical dirigé vers le haut}
\end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

\newpage

\subsection{Rotation pulsatoire}

On pourrait penser que l'on a résolu à peu de frais de problème et qu'on a obtenu ce que l'on souhaitait~: un champ magnétique tournant~!

Il s'avère que c'est un bien piètre champ tournant qui ne donnera pas satisfaction dans l'immense majorité des cas.

Pourquoi cela~? Parce que le champ est plus un champ \og bondissant \fg{} qu'un champ qui tourne bien régulièrement. Le champ saute d'une position à une autre, franchissant 90° en un éclair. Il en résulte, au cas où un moteur accepterait de tourner, ce qui reste à démontrer, un couple moteur pulsatoire de très mauvaise qualité.

Bref, si on entrevoit comment faire tourner un champ magnétique à l'aide du dispositif des figure \vref{champ1} à \vref{champ4}, ce n'est pas comme cela que l'on procède.



\subsection{Rotation régulière}

Pour que le champ ne passe pas d'une position à une autre, séparée de 90°, en un temps extrêmement court, il faudrait que la différence d'alimentation électrique des bobines s'effectue moins brusquement. Ce qui pourrait se faire si le courant s'éteignait progressivement dans une bobine tout en apparaissant progressivement dans l'autre.

\section{Monophasé}

Cela peut se faire en alimentant les bobines avec une tension alternative sinusoïdale de telle sorte que la variation des courants soit progressive. Mais attention, si les bobines sont alimentées comme le montre la figure \vref{no_dephasage}, le champ magnétique produit, somme vectorielle du champ des deux bobines, ne tourne pas. Ce champ se contente de croître et de décroître le long de la bissectrice des deux bobines.


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.9, every node/.style={scale=0.9}]
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
	(0,-4)to[cute inductor,l_=$L''$](0,-2)
	(-4,-4)to[sV](-4,-2)
	(-4,-4)to[short](0,-4)
	(-4,-2)--(0,-2)
	(-4,-4)to[short,*-](-5,-4)|-(-4,0)
	(-2,0)to[short,-*](-2,-2);
	\draw[<->,>=stealth](-1,-1)--(1,1);
	\draw(0,0)node[circ]{};
	\draw(0,0.1)node[above]{$\vv{B}$};

	%arc de cercle de 90°
	%\draw[<->] (0,-1.5) arc (0:87:1.8cm);
	%\draw(0,0.3)node{90°}	;
	
\end{circuitikz}
\caption{\label{no_dephasage} Les deux enroulements décalés de 90° sont traversées par des courants identiques, les deux champs magnétiques produits ont une résultante sur la bissectrice. Cela ne tourne pas~!}
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}


Pour obtenir un champ magnétique tournant, il faut absolument que les courants des bobines soient déphasées dans le temps de telle sorte que lorsqu'un courant décroit après être passé par son maximum dans une bobine, l'autre se mette à croître. Pour ce faire, il faut  un déphasage de $\displaystyle \frac{\pi}{2} \unit{\radian}$ entre les deux courants. Dès lors, le champ tourne à une vitesse bien régulière, sans à coup. Cette vitesse $N$ est donnée par la formule~:
 
 \[
 N = \frac{f}{p}
 \]
 
 où $N$ est en tour.\unit{\per\second}, $f$ est la fréquence des tensions d'alimentation et $p$ est le nombre de bobines sur chacune des phases. La figure \vref{dephasage} montre la solution la plus employée pour obtenir des courants déphasés de $\displaystyle \frac{\pi}{2} \unit{\radian}$.
 

 
 \vspace{0.3cm}
 
Regarder très attentivement la vidéo qui montre le dispositif de la figure \vref{dephasage} en action, pour ce faire, regarder \href{http://mach.elec.free.fr/video/Leblanc2champs.avi}{cette vidéo} ou encore cette \href{http://mach.elec.free.fr/video/champs_tournants_1.mp4}{vidéo}.

\vspace{0.3cm}


\href{http://mach.elec.free.fr/video/champ_tournant.xls}{Le fichier Excel} permet lui aussi, en \og jouant \fg{} les animations, de s'approprier cette notion de champ tournant. Ce fichier Excel permet d'observer la décomposition du champ pulsant alternatif créé dans l'axe d'une seule bobine en deux champs tournant en sens inverse (théorème de Leblanc), de bien voir la nécessité d'une seconde bobine d'axe à 90° de l'autre et parcourue par un courant décalé dans le temps de $\omega \cdot t = \qty{90}{\degree}$ pour obtenir un et un seul champ tournant qui fera démarrer un moteur sans aide extérieur. De plus il permet de visualiser l'obtention d'un champ tournant en triphasé (théorème de Ferraris).


 \vspace{0.3cm}
 
\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.9, every node/.style={scale=0.9}]
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)
	(0,-4)to[cute inductor,l_=$L''$](0,-2)
	(-4,-4)to[sV](-4,-2)
	(-4,-4)to[C](0,-4)
	(-4,-2)--(0,-2)
	(-4,-4)to[short,*-](-5,-4)|-(-4,0)
	(-2,0)to[short,-*](-2,-2);
	
	%arc de cercle de 90°
	\draw[<->] (0,-1.5) arc (0:87:1.8cm);
	\draw(0,0.3)node{90°}	;
	
\end{circuitikz}
\caption{\label{dephasage} Les deux enroulements décalés de 90° permettant d'obtenir un champ magnétique tournant, si tant est qu'ils soient alimentés par des courants eux-mêmes décalés de 90° dans le temps grâce, par exemple, à un condensateur.}
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

Un montage avec deux bobines par phase est montré à la figure \vref{2_paires_de_poles}, on a alors $p = 2$, ce qui pour une même fréquence va diviser la vitesse de rotation du champ magnétique par 2. Pour obtenir une vitesse encore plus basse, $N = \displaystyle \frac{f}{3}$, on a recourt à 3 bobines par phases.


On commence par répartir \textit{régulièrement} les $p$ bobines d'une même phase, ici $p=3$, le long des $2 \pi \unit{\radian}$ du stator en espaçant donc les bobines d'une même phase de $\frac{2 \pi}{3} = \frac{360 \unit{\degree}}{3} = 120 \unit{\degree}$. Ensuite, on constitue l'enroulement alimentée par un courant déphasée de $\frac{\pi}{2}$. Pour ce faire, les 3 bobines de cette deuxième phase sont elles aussi décalées angulairement de $120 \unit{\degree}$, puis décalées par rapport aux bobines de la phase \no 1 de~:

\[
\frac{2 \pi}{\text{nombre totale de bobines}} = \frac{2 \pi}{2p} = \frac{\pi}{p}
\]

Ici $\frac{\pi}{3}$ comme le montre la figure \vref{3_paires_de_poles}. On peut poursuivre l'ajout du nombre de paire de pôles par phase afin d'obtenir des vitesses de rotation toujours plus faibles.





\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.9, every node/.style={scale=0.9}]
	\draw
	(-4,0)to[cute inductor,l=$L'$](-2,0)--(2,0)to[cute inductor,l=$L'$](4,0)
	(0,-4)to[cute inductor,l_=$L''$](0,-2)to[crossing](0,2)to[cute inductor,l_=$L''$](0,4)
	%(-4,-4)to[sV](-4,-2)
	(-5,-4)to[sV,-*](-5,0)|-(-4,0)
	(-5,-4)--(0,-4)
	(-5,0)|-(0,4)
	(4,0)to[C](4,-4)to[short,-*](0,-4)
	;
\end{circuitikz}
\caption{\label{2_paires_de_poles} Deux bobines par phase, $p=2$.}
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}





\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.9, every node/.style={scale=0.9}]


	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor,l=1](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	(-3,-0.5)node{$2$};
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	(-3,-0.5)node{$3$};
	
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=60, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	(-3,-0.5)node{$1$};
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=180, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	(-3,-0.5)node{$2$};
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=300, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	(-3,-0.5)node{$3$};
	\end{scope}
	
\end{circuitikz}
\caption{\label{3_paires_de_poles}  Trois bobines par phase, $p=3$, les bobines en bleus appartiennent à la même phase et sont montées en série, il en est de même pour les bobines en rouges.}
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

\vspace{0.3cm}


Vous pourrez consulter avec profit la \href{http://mach.elec.free.fr/mat/Moteur_asynchrone_monophase.html}{page sur les moteurs asynchrones monophasés} qui contient de nombreuses courtes vidéos très démonstratives.


Si le calcul du condensateur de déphage d'un moteur asynchrone monophasé vous intéresse, vous pouvez consulter~:


\url{http://mach.elec.free.fr/mat/calcul_condensateur_moteur_asynchrone_monophase.pdf}





\newpage


\section{Triphasé}

En 1884, Galileo Ferraris (1847 - 1897) démontre qu'un champ tournant peut être créé par trois bobines décalées angulairement de 120°, alimentées par des tensions triphasées. 

\subsection{Théorème de Ferraris}
 
\noindent\fbox{\parbox{\linewidth-2\fboxrule-2\fboxsep}{$p$ systèmes de bobines triphasées réparties \textit{régulièrement} sur le périmètre d'un entrefer et alimentés par un système de courants triphasés de pulsation $\omega$ créent $p$ paires de pôles d'un champ glissant de pulsation de rotation $\frac{\omega}{p}$.

La valeur du champ est maximale en un point de l'axe d'une bobine quand l'intensité du courant dans cette bobine passe par sa valeur maximale. }}


\vspace{0.3cm}



Le champ tournant créé tourne à une vitesse $N$ donnée par la formule~:
 
 \[
 N = \frac{f}{p}
 \]
 
 où $N$ est en tour.\unit{\per\second}, $f$ est la fréquence des tensions d'alimentation et $p$ est le nombre de bobines sur chacune des phases. On appelle cette vitesse la \textit{vitesse de synchronisme}. Ainsi, avec 3 bobines disposées comme le montre la figure \vref{3_bobines_triphase} avec $p = 1$, en prenant \qty{50}{\hertz}, on obtient une vitesse de rotation~:
 
\[
 N = \frac{f}{p} = \frac{50}{1} = 50 \; \text{tour.}\unit{\per\second} = 3000 \; \text{tours.}\unit{\per\minute}
\] 






\shorthandoff{;:!?}\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[european,scale=0.7, every node/.style={scale=0.9}]

   
  \coordinate (A);
  \foreach \anch/\ang in {/0,/120,/240}
  {%
    \draw (A)++({\ang+90}:2) to[cute inductor]++({\ang+90}:4);
   }
   \draw (A)node[circ]{} ;
    \draw[->,>=stealth](90:-1)--(90:1);
   %\draw[->,>=stealth](-1,-1)--(1,1);
 \end{circuitikz}
\caption{\label{3_bobines_triphase} Création d'un champ tournant en triphasé avec $p = 1$. }
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}


\href{http://mach.elec.free.fr/video/LeMoteurSynchrone.swf}{Regarder très attentivement cette animation} (télécharger le fichier .swf puis trainez le dans \href{https://ruffle.rs/demo/}{ce site}) (cliquer sur les boutons en haut à droite pour avancer ou reculer) qui vous montrera clairement comment les champs magnétiques des trois bobines s'ajoutent \textit{vectoriellement} pour composer un champ d'amplitude constante qui tourne à $N = \frac{f}{p}$.

Vous pourrez voir sur le polycopié d'électromagnétisme l'expression mathématique du champ tournant issue du calcul trigonométrique~:

\[
b_M (\theta, t) = \frac{3}{2} \cdot k \cdot I_{\text{max}} \cdot \cos (\omega t - p \theta_m )
\]

Cette expression, à moins d'être familier des ondes progressives, ne laisse pas tellement penser qu'il s'agit là d'un champ qui tourne en fonction du temps. Je vous invite plutôt à vous imprégner de ce que vous pourrez voir en cliquant sur les liens précédant, et si cela ne suffisait pas, à vous absorber dans la contemplation \href{http://mach.elec.free.fr/video/Ferraris.mp4}{de cette vidéo}  (touche Ctrl et + ou - pour grossir ou réduire).


Voir les animations de champs tournants en triphasé sur \href{http://mach.elec.free.fr/divers/Champ_tournant.html}{cette page}.


\section{Influence du nombre de bobines par phase $p$}

Nous avons vu que la vitesse de rotation du champ magnétique, que ce soit en monophasé ou en triphasé, est donnée par la formule~:

\[
 N = \frac{f}{p}
\]

Où $p$ est le nombre de bobines par phase, encore appelé \og nombre de paires de pôles \fg{} puisqu'une bobine comporte un pôle nord et un pôle sud, soit deux pôles, une paire.

Un stator est constitué de bobines qui sont régulièrement disposées autour des \qty{360}{\degree}. Deux bobines consécutives appartiennent toujours à des phases différentes~: on fera se succéder des bobines appartenant aux phases 1231231etc. ou bien 3213213etc.

Les $p$ bobines d'une même phase sont espacées angulairement de $\frac{2 \pi}{p}$. Les groupes de bobines sont espacés de $\frac{2 \pi}{2 p} = \frac{\pi}{p}$, c'est l'angle que l'on trouve entre deux bobines consécutives quelconques.

Pourquoi la vitesse diminue-t-elle  si le nombre de bobines par phase augmente~? Pour comprendre cela, envisageons un stator de machine triphasée comprenant 1 bobine par phase, $p=1$, comme schématisé sur la partie haute de la figure \vref{nombre_bobines}. En une période des tensions triphasées, de l'instant 1 où la phase représentée en rouge atteint son maximum à l'instant 1' où cette même phase repasse par son maximum, le champ aura effectué un tour. La partie supérieure de la figure représente les bobines et la position du champ magnétique aux instants où les phases passent par leur maximum, 1, 2, 3 et 1'.


Si nous considérons désormais la partie inférieure de cette même figure \vref{nombre_bobines}, c'est un stator comprenant 2 paires de pôles, $p=2$, qui est représenté aux mêmes instants. Les bobines sont maintenant rassemblées dans un intervalle angulaire deux fois plus petit, \qty{180}{\degree}. Comme on peut le voir, dans le même intervalle de temps le champ aura parcouru un angle deux fois plus petit, \qty{180}{\degree} au lieu d'un tour complet \qty{360}{\degree}. Le champ tourne cette fois deux fois moins vite.

Avec un stator où $p=3$, le champ tournerait trois fois moins vite qu'il ne tourne quand $p=1$, et ainsi de suite. 

Cette \href{http://mach.elec.free.fr/video/champs_tournants_3.mp4}{vidéo} montre très clairement l'influence du nombre de paire de pôles sur la vitesse de rotation du champ magnétique tournant.


\shorthandoff{;:!?}\begin{figure}[!htbp]	
  \begin{center}
\begin{circuitikz}[european,scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}]
 \coordinate (A);
  \foreach \anch/\ang in {/0,/60,/120,/180,/240,/300}
  {%
    \draw (A)++({\ang+90}:2) to[cute inductor]++({\ang+90}:4);
   }
   \draw (A)node[circ]{} ;
    \draw[->,>=stealth](210:-1)--(210:1);
   %\draw[->,>=stealth](-1,-1)--(1,1);
 \end{circuitikz}
\caption{\label{6_bobines_triphase} Création d'un champ tournant en triphasé avec $p = 2$. }
  \end{center}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}










\newpage

\thispagestyle{empty}
\markboth{\uppercase{\empty}}{\uppercase{\empty}}

\begin{landscape}

\newgeometry{top=7cm, bottom=3cm, left=2.5cm, right=1cm}

 
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{tabularx}{10cm}{p{5cm}|p{5cm} |p{5cm}|p{5cm}}
\begin{table}
\begin{center}
 \begin{tabular}{p{5.5cm}|p{5.5cm}| p{5.5cm}|p{5.5cm}}
\shorthandoff{;:!?}
%\begin{figure}[!htbp]	
% \begin{center}
\begin{circuitikz}[scale=0.8, every node/.style={scale=0.8}]
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\draw[->,>=stealth](120:1)--(120:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[red](0,-3)node{$1$};
\end{circuitikz}
%\caption{\label{3_paires_de_poles}  Phase 1 maximum.}
 % \end{center}
%\end{figure}
\shorthandon{;:!?} 
& 
\shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.8, every node/.style={scale=0.8}]
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\draw[->,>=stealth](240:1)--(240:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[green](0,-3)node{$2$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}
 &
  \shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.8, every node/.style={scale=0.8}]
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\draw[->,>=stealth](360:1)--(360:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[blue](0,-3)node{$3$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}
&
 \shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.8, every node/.style={scale=0.8}]
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0)
	;
	\draw[->,>=stealth](120:1)--(120:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[red](0,-3)node{$1'$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}

 \\
 \hline
 \\


\multicolumn{4}{c}{\begin{circuitikz}[xscale=2.5,yscale=0.8, every node/.style={scale=0.9}]

\draw[->] (-0.5,0) -- (9,0) node[right] {$\omega t$};
\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {$y$};

%\foreach \x/\xtext in {-3.14/-\pi,-1.57/-\frac{\pi}{2}} {\draw (\x,0.1cm) -- (\x,-0.1cm) node[below] {$\xtext\phantom{-}\strut$};}

\foreach \x/\xtext in {1.57/\frac{\pi}{2},3.14/\pi,4.71/\frac{3 \pi}{2},6.28/2\pi,7.85/\frac{5 \pi}{2}} {\draw (\x,0.1cm) -- (\x,-0.1cm) node[below] {$\xtext\strut$};}

\foreach \y in {-1,1} {\draw (0.1cm,\y) -- (-0.1cm,\y) node[left] {$\y\strut$};}\node[below left=0.1cm] at (-0,0) {$0\strut$};

\draw[domain=0:9, color=red,samples=200] plot ({\x},{sin(\x r)});
\draw[red](1.57,1.3)node{$1$};
\draw[red](7.85,1.3)node{$1'$};

\draw[domain=0:9,color=green,samples=200] plot ({\x},{sin(\x r- 120});
\draw[green](3.66,1.3)node{$2$};

\draw[domain=0:9,color=blue,samples=200] plot ({\x},{sin(\x r- 240});
\draw[blue](5.76,1.3)node{$3$};
	
\end{circuitikz}} 
\\

\\
\hline
\\
\\


\shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}]

	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=60, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=180, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=300, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	
	\draw[->,>=stealth](60:1)--(60:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[red](1,-4)node{$1$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}
 &
 \shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}]

	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=60, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=120, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=180, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
	\draw[color=green](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	\end{scope}
	
	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=300, transform shape]
	\draw[color=blue](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
	
	\draw[->,>=stealth](120:1)--(120:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[green](1,-4)node{$2$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}
 & 
 \shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}]

	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
	\draw[color=red](-4,0)to[cute inductor](-2,0);
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	\draw[->,>=stealth](180:1)--(180:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[blue](1,-4)node{$3$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}
  &
\shorthandoff{;:!?}
\begin{circuitikz}[scale=0.6, every node/.style={scale=0.6}]

	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=0, transform shape]
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	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=240, transform shape]
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	\begin{scope}[shift={(1,0)},rotate=300, transform shape]
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	\draw[->,>=stealth](240:1)--(240:-1);
	\draw (0,0)node[circ]{};
	\end{scope}
	\draw[red](1,-4)node{$1'$};
\end{circuitikz}
\shorthandon{;:!?}  
  
   \\ 
 
\end{tabular} 
\caption{\label{nombre_bobines} Influence du nombre de paires de pôles sur la vitesse de rotation du champ magnétique, le champ tourne dans le sens trigonométrique.}
\end{center}
\end{table}

\restoregeometry


\end{landscape}

\newpage


\section{Inversion du sens de rotation}

Pour inverser le sens de rotation, il suffit d'inverser le courant dans une des deux bobines en monophasé, ce qui se fait en inversant la polarité à ses bornes.

En triphasé, il suffit de permuter deux phases quelconques comme le montre clairement cette \href{http://mach.elec.free.fr/video/champs_tournants_2.mp4}{vidéo}.







\section{Moteurs}

Disposer d'un champ tournant permet de construire deux types de machines électriques~:

\begin{itemize}
\item les machines synchrones où le rotor tourne exactement à la vitesse du champ tournant $N = \frac{f}{p}$~;
\item les machines asynchrones où le rotor tourne à une vitesse variable, toujours inférieure à  $N = \frac{f}{p}$
\end{itemize}

\subsection{Moteurs synchrones}

Si vous faites tourner un aimant permanent au-dessus d'une boussole, vous verrez que l'aiguille suit l'aimant et tourne très exactement à la même vitesse. Vous venez de réaliser un moteur synchrone rudimentaire~! Synchrone, car le rotor, ici l'aiguille, tourne exactement à la même vitesse que le champ magnétique tournant créé par le stator. \href{http://mach.elec.free.fr/video/boussole_aimant.mp4}{Voir la vidéo}.



Dans un moteur synchrone, le stator, partie fixe par rapport à un observateur, est constitué d'un ensemble de trois groupes de bobines, un groupe par phase, chacun de ces groupes comporte $p$ bobines. Alimenté par des tensions triphasées équilibrées, le stator crée un champ magnétique tournant à la vitesse $N = \frac{f}{p}$. Le rotor est constitué d'un aimant permanent ou d'un électro-aimant. Le champ tournant créé par le stator entraîne le rotor \textit{exactement} à la même vitesse que celle du champ tournant créé, d'où l'appellation de moteur \textit{synchrone}.

\subsection{Moteurs asynchrones}

Dans un tel moteur le rotor est un ensemble de spires court-circuitées sur elles mêmes. Plongé dans le champ tournant statorique, d'après la règle du flux maximal, ces spires vont partir à la poursuite du champ magnétique tournant afin d'essayer d'être traversées par un flux maximum.

La vidéo suivante montre un aimant que l'on tourne au-dessus d'un disque de cuivre mobile autour d'un axe. Le disque se met à tourner. Le repère noir permet de constater que la vitesse du disque est toujours inférieure à celle de l'aimant, il n'y a pas synchronisme. \href{http://mach.elec.free.fr/video/ARAGO_DISC.mp4}{C'est le principe inverse du ralentisseur Telma}. 

 

\newpage

\begin{figure}[!htbp]
 \begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images/cage_ecureuil.jpg}
\caption{\label{cage_ecureuil} Rotor d'une machine asynchrone~: la cage d'écureuil = ensemble de spires en court-circuit. }
\end{center}
\end{figure}



À place de la règle du flux maximal, on peut considérer les choses plus en détail. Considérer un seul conducteur de la figure \vref{regle_trois_doigts_cage_ecureuil}. Le sens de rotation du champ tournant statorique est donné.

Essayer de retrouver le sens de la force de Laplace qui s'applique sur les conducteurs de la cage d'écureuil.

D'abord il s'agit de trouver le sens du courant induit qui va circuler grâce à la règle des trois doigts de la main gauche, \textit{attention}, la vitesse relative du conducteur par rapport au champ magnétique est à l'opposé de celle du champ magnétique~!

Puis, essayer d'en déduire le sens de la force de Laplace à l'aide de la règle des trois doigts de la main droite.

Le polycopié d'électromagnétisme comporte un exercice semblable, avec une seule spire, à la dernière page.


\begin{figure}[!htbp]
 \begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{images/regle_trois_doigts_cage_ecureuil.jpg}
\caption{\label{regle_trois_doigts_cage_ecureuil} Force de Laplace sur les conducteurs rotoriques de la cage d'écureuil d'une machine asynchrone. }
\end{center}
\end{figure}


Le rotor du moteur asynchrone ne peut en aucun cas atteindre la vitesse du champ tournant statorique. Démontrons cela par l'absurde. Admettons que le rotor a atteint tout seul la même vitesse que celle du champ statorique. Dès lors les spires du rotor seront traversées par un flux magnétique constant, indépendant du temps. La loi de Faraday, $e = \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d}t}$, nous indique que la f.é.m. en leur sein sera nulle. Il n'y aura plus de courant qui les parcourt et pas davantage de force de Laplace, donc plus de couple moteur et donc plus aucune raison que la spire continue de tourner si on ne néglige pas les frottements.

À vide, sans autre couple résistant que celui dû à des frottements très modérés, la vitesse du moteur asynchrone est presque égale à celle du champ statorique $N = \frac{f}{p}$, presque\dots{} Par exemple si la vitesse de synchronisme est de 1000 tour.\unit{\per\minute}, la vitesse du rotor à vide pourra être de 985 tour.\unit{\per\minute}.

La vitesse du rotor d'un moteur asynchrone est \textit{toujours inférieure} à celle du champ statorigue, d'autant plus que le couple résistant est grand. Le rotor \textit{glisse} par rapport au champ statorique.


\subsubsection{Moteur asynchrone monophasé}

\href{http://mach.elec.free.fr/mat/Moteur_asynchrone_monophase.html}{La page} permet de voir des vidéos où on peut voir~:

\begin{itemize}
\item un moteur asynchrone monophasé qui ne démarre pas tout seul et qui \og grogne \fg;
\item un moteur asynchrone monophasé dont on lance le rotor dans le sens horaire~;
\item un moteur asynchrone monophasé dont on lance le rotor dans le sens trigonométrique~;
\item un moteur asynchrone monophasé qui démarre tout seul, car on lui a adjoint une deuxième bobine \vref{dephasage}
\end{itemize}



\section{Logiciel de simulation}

Monsieur Jean-Jacques Herstain a conçu un excellent logiciel de simulation permettant de bien comprendre comment on obtient un champ magnétique tournant à l'aide de tensions triphasées (Ferraris), le fonctionnement des moteurs synchrones et asynchrones. \href{http://herstain.free.fr/logikyciels/moteurs.exe}{Vous pouvez récupérer ce logiciel à cette adresse}. 

\vspace{0.3cm}

\href{https://www.youtube.com/watch?v=5q0jni3m_O4}{Vous pouvez voir ce logiciel en action sur Youtube}.






\newpage

\section{Exercices}

\subsection{Théorème de Maurice Leblanc}




1000 spires sont enroulées autour d'un barreau de fer, de section circulaire, afin de constituer une bobine. Un disque métallique est placé dans un plan contenant l'axe de la bobine. L'axe du disque se trouve dans le prolongement de l'axe de la bobine. Le bord du disque est à \qty{5}{\milli\metre} du pôle de la bobine qui lui fait face. La bobine est alimentée par une tension alternative sinusoïdale \qty{220}{\volt} - \qty{60}{\hertz}.

\vspace{0.2cm}

1 Le disque est lancé dans le sens trigonométrique, la bobine étant alimentée. Calculer la vitesse de rotation atteinte par le disque.

\vspace{0.2cm}

2 Cette fois-ci, le disque est laissé immobile alors que la bobine est connectée à la source de tension. Calculer la vitesse de rotation atteinte par le disque.





\subsection{Théorème de Galileo Ferraris}



Trois bobines identiques ont leurs axes disposés dans un même plan et espacés angulairement de \qty{120}{\degree}. Elles sont alimentées par des tensions triphasées $\qty{220}{\volt}$ - $\qty{200}{\hertz}$. Chacune de ces bobines ne comporte qu'un pôle nord et un pôle sud.

\vspace{0.2cm}

1 Calculer la vitesse du champ magnétique résultant qu'elle produisent au point d'intersection de leur axe.

\vspace{0.2cm}

Neuf bobines sont groupées par trois. Dans chacun des groupes, les trois bobines sont mises en séries. Ces trois groupes de 3 bobines sont disposés à 120° les uns des autres de manière à constituer un stator. Les groupes de  3 bobines sont alimentés par des tensions triphasées $\qty{380}{\volt}$ - $\qty{300}{\hertz}$. On place un aimant mobile autour d'un axe au centre du stator ainsi créé de tel sorte que l'aimant et le champ tournant soient coplanaires.

\vspace{0.2cm}

2 L'aimant est immobile, le stator est alimenté, calculer la vitesse de rotation de l'aimant.

\vspace{0.2cm}

3 L'aimant est lancé à une vitesse à peine inférieure à celle du champ tournant, puis le stator est alimenté. Calculer la vitesse de rotation de l'aimant

\newpage

\section{Solutions}

\subsection*{Théorème de Maurice Leblanc}

1 Ici, il n'y a qu'une seule bobine, $p =1$.Le disque est lancé, il va \og accrocher \fg{} le champ dans le sens duquel il est lancé et atteindre une vitesse un peu inférieure à la vitesse de synchronisme qui est de~:

\[
 N = \frac{f}{p} = \frac{60}{1} = 60 \; \text{tour.}\unit{\per\second} = 3600 \; \text{tours.}\unit{\per\minute}
\] 

\vspace{0.2cm}

2 Le disque immobile, non lancé, est sollicité par les deux champs tournant antagonistes. Il demeure donc immobile, $N = 0 \; \text{tour.}\unit{\per\minute}$.


\subsection*{Théorème de Galileo Ferraris}

1 On applique simplement la formule qui donne la vitesse de synchronisme~:

\[
 N = \frac{f}{p} = \frac{200}{1} = 200 \; \text{tour.}\unit{\per\second} = \num{12000} \; \text{tours.}\unit{\per\minute}
\] 

\vspace{0.2cm}

2 Il ne se passe rien~! L'aimant ne tourne pas~! En effet, le champ magnétique tourne très vite $N = \frac{f}{p} = \frac{300}{3} = 100 \; \text{tour.}\unit{\per\second} = 6000 \; \text{tours.}\unit{\per\minute}$, à peine l'aimant bougerait-il dans un sens que le champ l'aurait dépassé et le solliciterait dans le sens contraire. L'aimant se contente de vibrer sur place.


Pour démarrer, il est indispensable d'utiliser un dispositif qui amène l'aimant à une vitesse proche de celle du champ tournant afin qu'il puisse \textit{accrocher} le champ.

Une autre solution consisterait à démarrer à très basse fréquence de manière à produire un champ magnétique tournant à très faible vitesse pour que l'aimant puisse s'y accrocher et être entraîné. Ensuite la fréquence des tensions serait progressivement augmentée.

\vspace{0.2cm}

3 Ici l'aimant qui a été lancé à une vitesse proche du champ tournant va pouvoir s'y accrocher et se mettre à tourner à la vitesse de synchronisme~: 

\[
N = \frac{f}{p} = \frac{300}{3} = 100 \; \text{tour.}\unit{\per\second} = 6000 \; \text{tours.}\unit{\per\minute}
\]

Remarquer l'influence de $p$.



