\chapter{Machines électriques}

Dans les machines électriques, que sont les machines à courant continu, les machines synchrones et les machines asynchrones, le but est soit de transformer de l'énergie électrique en énergie mécanique, soit de transformer de l'énergie mécanique en énergie électrique.

\vspace{0.3cm}

En simplifiant les choses dans le cadre de l'électrotechnique~:

\vspace{0.1cm}

\begin{itemize}
\item la transformation d'énergie électrique en énergie mécanique s'opère grâce aux forces de Laplace~: $F = B \times I \times\ell$~;
\item la transformation d'énergie mécanique en énergie électrique s'opère grâce à la loi de Faraday~: $e =\displaystyle \frac{\mathrm{d} \phi}{\mathrm{d} t} = B \displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} = B \times \ell \times v$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

  

Dans les deux cas, il s'agit d'obtenir un champ magnétique $B$ le \textit{plus élevé possible} afin d'obtenir des couples importants dans le cas du fonctionnement en moteur, ou bien des f.é.m. importante dans le cas du fonctionnement en génératrice.

Quant au transformateur, son fonctionnement correct nécessite que l'énergie magnétique variable produite par le primaire soit conduite avec une atténuation minimale à travers les spires du secondaire pour que la puissance se transmette correctement du primaire au secondaire.

De la même manière que le courant électrique doit être acheminé par des conducteurs les moins résistants possibles (lorsque le but n'est pas de faire griller des tartines~!), les machines électriques ont besoin d'un circuit qui amène le flux magnétique le plus efficacement possible, en s'opposant le moins possible à son passage, de l'endroit où il est produit à l'endroit où il est utilisé dans la machine.

\vspace{0.3cm}

Les machines électriques comportent donc~:

\vspace{0.1cm}

\begin{itemize}
\item un circuit électrique à base de cuivre ou d'aluminium, qui sont les métaux économiquement les plus adaptés, car possédant une très faible résistivité~;
\item un circuit magnétique à base de fer qui est le meilleur conducteur possible pour le flux $\Phi$.
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

On pourra visionner avec profit \href{http://mach.elec.free.fr/video/transfo_necessite_du_circuit_magnetique.mp4}{cette vidéo} qui montre la nécessité d'un circuit magnétique à base de fer pour le bon fonctionnement d'un transformateur. Sans circuit magnétique, les lignes de champ $\vv{B}$ se referment dans l'air et sont très fortement atténuées, car l'air est un matériau très réluctant, des milliers de fois plus que le fer.



\section{Exercices}


\subsection{Expérience des rails de Laplace}

Sur la figure \vref{fig:rails_Laplace}, une barre conductrice AB est posée sur deux rails conducteurs parallèles. Cette barre peut rouler ou glisser sans aucun frottement. Tout le circuit est baigné par un champ magnétique $\vv{B}$ supposé uniforme. Un générateur de tension de f.é.m. $E$ alimente le circuit constitué par les deux rails et par la barre AB. On supposera que l'intensité débitée $I$ est constante, ce qui revient à négliger la variation de la résistance électrique suite à l'éloignement de la barre AB.



\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.5]{images/rails_Laplace.jpg}
\caption{Expérience des rails de Laplace   \label{fig:rails_Laplace}}
\end{figure}


\begin{comment}
\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}[scale=1, every node/.style={scale=1}]
\draw
(0,0)to[short](10,0)
(0,4)to[short](10,4)
(0,0)to[V=$U$](0,4)
(3,2)node{\Huge $\bigoplus$}
(3.8,2.1)node{\Huge $\vv{B}$}
;
%tige mobile
\draw[line width=5pt]
(8,4.5)--(8,-0.5)
;
\draw[<->, > = stealth](8.5,4)--(8.5,0);
\draw(8.5,2)node[right]{$\ell$};

%nom des nœuds
\draw(8,-0.9)node[below]{tige mobile};
\draw(0,0)node[left]{A};
\draw(10,0)node[right]{B};
\draw(0,4)node[left]{C};
\draw(10,4)node[right]{D};
\draw(8,-0.5)node[below]{X};
\draw(8,4.5)node[above]{Y};
\end{circuitikz}
\caption{Moteur linéaire}
\label{fig:moteur_lineaire}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}
\end{comment}



\subsubsection{Fonctionnement moteur}

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main droite, déterminer le sens de la force exercée sur la barre AB.
\item Calculer l'intensité de la force de Laplace qui s'exerce sur la barre AB.
\item Déterminer le sens de la f.c.é.m. qui apparaît dans la barre AB à l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche.
\item Calculer la valeur de cette f.c.é.m. en fonction de la vitesse $v$ de la barre AB.
\item Que se passe-t-il lorsque la f.c.é.m. atteint la valeur E~?
\item Calculer la valeur limite de la vitesse $v$ atteinte par la barre.
\item Que se passe-t-il si des frottements diminuent la vitesse limite de la barre AB~?
\item Que se passe-t-il si la force $\vv{F}$ croît de telle sorte que la barre AB dépasse la vitesse limite~?
\end{enumerate}

\subsubsection{Fonctionnement en générateur}

Le dispositif est toujours baigné par un champ magnétique supposé uniforme $\vv{B}$. Le générateur de f.é.m. E est remplacé par une résistance $R$. Désormais, on exerce sur la barre AB une force motrice constante $\vv{F}$ orientée vers la droite. La barre AB se met en mouvement.

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer le sens de la f.é.m. produite, en déduire le sens du courant produit.
\item Calculer cette f.é.m.
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main droite déterminer le sens de la force de Laplace qui s'exerce sur la barre.
\item Calculer la force de Laplace produite.
\item Que se passe-t-il lorsque la force de Laplace devient égale à la force motrice~?
\item Calculer la vitesse limite atteinte par la barre AB.
\end{enumerate}

\subsubsection{Solution de l'exercice sur les rails de Laplace}

\subsubsection{Fonctionnement moteur}

\begin{enumerate}
\item La règle des trois doigts de la main droite permet de déterminer que la force exercée sur la barre AB est dirigée vers la droite.
\item $F = B \cdot I \cdot l$
\item Sous l'effet de cette force de Laplace la barre se met en mouvement et accélère. Elle coupe des lignes de champ B, ce qui induit une f.c.é.m. qui obéit à la loi de Lenz. On peut déterminer facilement le sens de cette f.é.m. grâce à la règle des trois doigts de la main gauche. On en déduit que la borne $+$ est située au point A.
\item f.c.é.m. $= B \cdot l \cdot v$
\item Lorsque $E = B \cdot l \cdot v$, le courant dans le circuit s'annule. Par conséquent il n'y a plus de force de Laplace. Puisque tout frottement est négligé, la barre continue son mouvement à vitesse constante. Attention~! Le fait que la force s'annule ne signifie en aucune manière que la barre s'arrête.
\item $\displaystyle E = B \cdot l \cdot v_{\text{limite}} \Rightarrow v_{\text{limite}} = \frac{E}{B \cdot l}$
\item Si la barre ralentit, la f.c.é.m. devient inférieure à la f.é.m. $E$. Le courant se remet à circuler dans la barre de A vers B, la force ce Laplace est à nouveau motrice et tend à ramener la barre à sa vitesse limite.
\item Si on accélère la barre afin qu'elle dépasse la vitesse limite, alors la f.c.é.m. devient supérieure à la f.é.m. $E$. Le courant dans la barre circule à nouveau, mais de B vers A, créant une force qui freine la barre et tend à la ramener à la vitesse limite. 
\end{enumerate}

On remarque que la vitesse atteinte dépend de la f.é.m. E appliquée.

on pourra consulter~:

\begin{itemize}
\item \href{http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/forcelaplace.html}{cette appliquette java}
\item \href{https://www.pccl.fr/physique_chimie_college_lycee/cpge_mpsi_pcsi/force_de_laplace_rail_regle_trois_doigts_main_droite_flash.htm}{cette animation flash} \href{https://www.youtube.com/watch?v=8o_fKUg7R5E}{et l'explication de l'expérience}
\item \href{https://www.youtube.com/watch?v=tOuZrYNosDU}{cette vidéo}
\end{itemize} 



\subsubsection{Fonctionnement en générateur}

\begin{enumerate}
\item La force dirigée vers la droite met la barre en mouvement dans cette direction. La règle des trois doigts de la main gauche permet déduire que la place de la borne $+$ de la f.é.m. induite est en A.
\item Lorsque la vitesse de la barre est $v$, la f.é.m. induite vaut~: $e = B \cdot l \cdot v$
\item Cette f.é.m. génère un courant $i$ orienté de B vers A. L'interaction entre $i$ et $B$ va créer une force de Laplace dont on peut trouver le sens par l'application de la règle de la main droite. La force est orientée vers la gauche et s'oppose à la force motrice F (loi de Lenz).
\item $f= B \cdot i \cdot l$, or $i= \frac{e}{R} = \frac{B \cdot l \cdot v}{R}$, il vient~: $f = \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot v}{R}$
\item Lorsque la vitesse a suffisamment augmenté, le courant $i$ est tel que la force de Laplace est opposée à la force motrice F. L'accélération s'annule, la barre continu en mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante).

\item Cette vitesse peut être calculer en égalant la force motrice et la force de Laplace~:
\[
f = F \Rightarrow \frac{B^2 \cdot l^2 \cdot v}{R} = F \Rightarrow v= \frac{F \cdot R}{B^2 \cdot l^2}
\]

\end{enumerate}

\subsubsection{Conclusion}

Les rails de Laplace constituent une machine électrique linéaire qui peut~:
\begin{itemize}
\item soit convertir de l'énergie électrique en énergie mécanique, on a alors un moteur~;
\item soit convertir de l'énergie mécanique en énergie électrique, on a alors un générateur.
\end{itemize}

Pour englober ces deux situations, on parle de \og machine électrique\fg. Le passage d'un fonctionnement moteur à un fonctionnement générateur et inversement s'effectue sans aucune modification sur le système.

\section{Une application des rails de Laplace~: le canon rail gun}

\subsection{Principe du rail gun}

Le principe est le même que celui des rails de Laplace.

Le principe est illustré par la figure \vref{fig:rail_gun}.Une d.d.p. est établie entre deux rails parallèles conducteurs de l'électricité. Un projectile conducteur est inséré entre les deux rails et ferme le circuit électrique. Le projectile peut glisser entre les deux rails. Dès que le circuit est fermé, un courant électrique circule entre les deux rails, un champ magnétique naît et le projectile est accéléré par la force de Laplace. 


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{images/Railgun_schema.png}
\caption{Principe du rail gun. \label{fig:rail_gun}}
\end{figure}


On peut néanmoins, pour augmenter la force du canon électrique, renforcer le champ magnétique en ajoutant, de part et d'autre du plan formé par les deux rails, des aimants créant un champ magnétique, perpendiculaire à l'axe, et de sens approprié pour s'ajouter au champ engendré par le courant.

On pourra consulter \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Canon_%C3%A9lectrique}{article de Wikipedia sur le rail gun}

On pourra aussi consulter \href{http://mach.elec.free.fr/video/rail_gun.mp4}{cette vidéo} provenant de la chaîne Youtube de Xavier Tytelman, vidéo publié le 21 décembre 2024.

\subsection{Intérêt par rapport aux armes classiques}

L'intérêt de tels canons est la vitesse très élevée atteinte par le projectile, capable de percer les blindages les plus résistants sans même avoir recours à un explosif tel qu'une charge creuse. La vitesse des obus classiques propulsés par explosion de poudre est en effet généralement de \qty{1000}{\metre\per\second} (\qty{1800}{\metre\per\second} pour les obus flèche), pour augmenter de 20 \% la vitesse d'un obus classique, il faut doubler la masse de poudre. Ici la vitesse espérée est de \qty{3500}{\metre\per\second}, soit à peu près trois fois plus élevée que les vitesses obtenues de manière classique avec des douilles remplies de poudre.

 La grande quantité d'énergie électrique nécessaire est la contrepartie aux munitions lourdes et explosives à transporter avec une arme de tir conventionnelle. 


Le canon électrique \og rail  gun \fg, à propulsion électromagnétique, ne doit pas être confondu avec un autre principe d'arme~: le canon magnétique, où le champ magnétique est parallèle à l'axe, et où le projectile, au lieu d'être parcouru par un courant, est ferromagnétique, voir \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Canon_magn%C3%A9tique}{cet article de Wikipedia sur le canon magnétique}.

Les catapultes électromagnétiques qui remplacent les catapultes à vapeur sur les porte-avions obéissent à un principe différent, ce sont des moteurs asynchrones linéaires et non des rails de Laplace~; on pourra consulter avec profit \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/EMALS}{cet article de Wikipedia}.


\newpage





\subsection{Roue de Barlow} \label{MCC}

La figure \vref{fig:mcc} montre une roue de Barlow qui est en fait une machine à courant continu élémentaire. Celle-ci est constitué d'un disque en cuivre de rayon $r = \qty{10}{\centi\metre}$ qui peut tourner autour de son axe qui est conducteur. Un aimant, non représenté, permet de créer un champ magnétique uniforme $B = \qty{0,5}{\tesla}$ parallèle à son axe entre les points $O$ et $O'$. Deux contacts glissants (appelés balais ou charbons) sont disposés l'un sur l'axe en $O$ et l'autre sur la périphérie du disque en $O'$. On admettra que le courant circule en ligne droite de $O$ à $O'$. On négligera les frottements, que ce soit ceux dus à l'air ou encore les frottements des paliers sur l'axe ou ceux des charbons sur le bord du disque et sur l'axe.

\subsubsection{Fonctionnement en générateur \label{barlow_generateur}}

On fait tourner le disque de cuivre en lui appliquant un couple moteur $C_{\text{moteur}}$. Une f.é.m. $U$ apparaît entre les charbons.

\vspace{0.3cm}

\begin{itemize}
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer son sens.
\item Si la vitesse de rotation du disque est $N = 1000$ tours par minute, quelle est la valeur de la f.é.m. $U$ entre les charbons~?
\end{itemize}

\vspace{0.3cm}

On connecte une résistance au circuit comme le montre la figure \vref{fig:mcc}.

\begin{itemize}
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main droite déterminer le sens de la force de Laplace qui s'exerce sur le disque entre les points $O$ et $O'$.
\item Calculer le couple résistant dû à la force de Laplace qui s'exerce sur le disque.
\item Que se passe-t-il lorsque le couple dû à la force de Laplace devient égale au couple moteur~?
\end{itemize}

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{circuitikz}[scale=1.3, every node/.style={scale=1.2}]
%roue Barlow
\draw (0,0) ellipse (3cm and 1cm);
%axe vertical
\draw [thick, -latex] (0,-3) -- (0,3);
%centre O
\draw (0,0) node {$\bullet$} node [above left] {O};
\draw (3.11,0) node [above right] {O'};

%charbon sur l'axe
\draw (0.11,-2) node {$\filledmedsquare$};
\draw (0.1,-2)to[short](4,-2);
%charbon sur le disque
\draw node at (3.11,0) {$\filledmedsquare$};
\draw (3.11,0)to[short](4,0);

%source tension
\draw (4,-2)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,R,l_=$R$](4,0);


%vitesse rotation omega
\draw [xshift=0.3cm,rotate around={180:(-0.4,2.2)},-stealth] (-0.25,2) arc (-30:210:0.3cm and 0.2cm) node[below left=0.3cm] {$\dot{\theta}$};
%rotate around permet de faire une rotation autour d'un point particulier (ici de 180° autour de (-0.4,2.2)
%line width gère l'épaisseur du trait

%vecteurs champ magnétique
\draw [very thick,red,-latex] (0.5,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1.5,0) --++ (0,1.2)node[above] {$\vv{B}$};
\draw [very thick,red,-latex] (2,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (2.5,0) --++ (0,1.2);

\end{circuitikz}
\caption{Machine à courant continu élémentaire, fonctionnement en générateur.}
\label{fig:mcc}
\end{figure}

Voir la solution \vref{sol_barlow_generateur}

 
\subsubsection{Fonctionnement en moteur \label{barlow_moteur}}

On alimente le circuit en connectant un générateur de tension qui délivre une tension $E = \qty{0,5}{\volt}$ entre les deux charbons comme le montre la figure \vref{fig:mcc2}.


On suppose que la résistance totale du circuit électrique (résistance interne du générateur en série avec celle des fils électrique et des charbons, en série avec la résistance de la portion de disque de cuivre et de l'axe traversée par le courant, en série avec les résistances de contact charbon -- disque et axe -- charbon) vaut $R = \qty{0,05}{\ohm}$.

\vspace{0.3cm} 

\begin{itemize}
\item Calculer le couple de démarrage du disque.
\item Quelle est la vitesse de rotation limite qu'il atteindra (en tours par minute), si on néglige les frottements~?
\item Que se passe-t-il si des frottements apparaissent qui diminuent la vitesse de rotation limite du disque~?
\item Que se passe-t-il si on augmente la vitesse de rotation du disque de telle sorte qu'il dépasse la vitesse limite~?
\item Que se passe-t-il si la source de tension continue est remplacée par une source de tension alternative, le champ magnétique continuant à être indépendant du temps~?
\item Que se passe-t-il si la source de tension continue est remplacée par une source de tension alternative qui alimente en série la ou les bobines produisant le champ magnétique et les charbons~?
\end{itemize}

Voir la solution \vref{sol_barlow_moteur}


\begin{comment}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=1.3]{images/mcc1.jpg}
\caption{Machine à courant continu élémentaire.}
\label{fig:mcc}
\end{figure}
\end{comment}




\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{circuitikz}[scale=1.3, every node/.style={scale=1.2}]
%roue Barlow
\draw (0,0) ellipse (3cm and 1cm);
%axe vertical
\draw [thick, -latex] (0,-3) -- (0,3);
%centre O
\draw (0,0) node {$\bullet$} node [above left] {O};
\draw (3.11,0) node [above right] {O'};

%charbon sur l'axe
\draw (0.11,-2) node {$\filledmedsquare$};
\draw (0.1,-2)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,R=$\qty{0,05}{\ohm}$](4,-2);
%charbon sur le disque
\draw node at (3.11,0) {$\filledmedsquare$};
\draw (3.11,0)to[short](4,0);

%source tension
\draw (4,-2)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,V,v_=$E$](4,0);

%vecteurs champ magnétique
\draw [very thick,red,-latex] (0.5,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1.5,0) --++ (0,1.2)node[above] {$\vv{B}$};
\draw [very thick,red,-latex] (2,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (2.5,0) --++ (0,1.2);

\end{circuitikz}
\caption{Machine à courant continu élémentaire, fonctionnement moteur.}
\label{fig:mcc2}
\end{figure}






\subsubsection{Solution~: Roue de Barlow fonctionnement en générateur \vref{barlow_generateur} \label{sol_barlow_generateur}}



\paragraph{Sens de la f.é.m. $U$}

Lors de la rotation du disque, si on isole par la pensée une portion du disque située entre $O$ et $O'$, on visualise bien que le métal du disque traverse, coupe des lignes de champ magnétique. Il y a donc apparition d'une f.é.m.

Deux solutions sont possibles~:

\begin{itemize}
\item Soit on applique la règle des trois doigts de la main gauche au rayon $OO'$. Sur la figure \vref{fig:mcc}, le rayon $OO'$ tourne en s'enfonçant de l'avant vers l'arrière, suivant la vitesse de rotation $\dot{\theta}$. Ainsi, le majeur de la main gauche indique que le courant tend à circuler de $O$ vers $O'$, le charbon $O'$ est la borne $+$.

\item Soit on raisonne plus directement avec la loi de Lenz. Selon Lenz, la force de Laplace exercée sur l'intensité (intensité qui circule seulement si le circuit est fermé) doit s'opposer au mouvement. Un tel courant serait l'objet d'une force de Laplace qui créerait un couple antagoniste à la vitesse $\dot{\theta}$ de la figure \vref{fig:mcc}. Pour cela, à l'aide de la règle des trois doigts de la main droite, on détermine que l'intensité doit s'écouler de $O$ vers $O'$.
\end{itemize}






\paragraph{Calcul de la f.é.m. $U$ }

On ne peut pas utiliser la formule $U = B \cdot L \cdot V$, car la vitesse tangentielle $V$ n'est pas constante le long d'un rayon $r$. Il faut revenir à la formule de Faraday~:

\[
\lvert U \rvert = \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
\]

On a ici~:

\[
\lvert U \rvert= \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} (B \cdot S)}{\mathrm{d} t} = \frac{B \, \mathrm{d} S}{\mathrm{d} t}
\]

où $\mathrm{d}S$ est la surface balayée par le rayon du disque $r$ pendant le temps $\mathrm{d}t$ comme le montre la figure \vref{fig:dS}.

\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\def\R{2}
\def\ang{30}
\coordinate (O) at (0,0);
\coordinate (X) at (\R,0);
\coordinate (R) at (\ang:\R);
  
\draw (O) -- (X) node[midway,below right=0] {$r$};
\draw (O) -- (R) node[midway,right=4,above left=0] {$r$};

\draw[->,>=stealth](1,0)arc(0:30:1);
\draw(17:1)node[right]{ $\mathrm{d} \theta$};
 
\draw[red!80!black,very thick] (X) arc (0:\ang:\R) node[midway,above right=-2] {$r \times \mathrm{d} \theta$};
  
\fill[gray,opacity=0.5](0,0)--(2,0)arc(0:30:2)--cycle;

\draw[{Circle[black,length=2pt]}-](1.5,0.5)--(1.8,-0.5);
\draw(1.8,-0.5)node[right]{$\mathrm{d}S$};
 
\end{tikzpicture}
\caption{Calcul de $\mathrm{d}S$.}
\label{fig:dS}
\end{figure}

Pendant le temps $\mathrm{d} t$, en pivotant autour du centre $O$, le rayon $r$ décrit un angle élémentaire $\mathrm{d} \theta$. Ce faisant, son extrémité parcourt une longueur $r \times \mathrm{d} \theta$, avec $\mathrm{d} \theta$ exprimé en radian. L'arc de longueur $r \times \mathrm{d} \theta$ est un infiniment petit qui peut être assimilé à un segment de droite, la courbure tend vers $0$. On peut donc assimiler la surface $\mathrm{d}S$ de la figure \vref{fig:dS} à celle d'un triangle. L'aire balayée par $r$ pendant le temps $\mathrm{d} t$ est donc la surface du triangle en gris ci-dessus.  

Attention~! Il s'agit bien d'un triangle~! On pourrait en douter en regardant la figure \vref{fig:dS} où la longueur $r \, \mathrm{d} \theta$ semble arrondie, mais il s'agit d'un \textit{infiniment petit}, donc le côté $r \, \mathrm{d} \theta$ sera \og droit \fg{} et il s'agit bien d'un triangle.

Soit~:

\[
\mathrm{d} S = \frac{1}{2} \times r  \times (r \times \mathrm{d} \theta) = \frac{1}{2} r^2 \mathrm{d} \theta
\]

$\mathrm{d} \theta$ est un angle en radian. Afin d'introduire la vitesse de rotation $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}$, on écrira~:

\[
\mathrm{d} \theta = \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t
\]

On obtient donc~:

\[
U = \frac{B \, \mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} = \frac{B ( \frac{1}{2} r^2 \mathrm{d} \theta) }{\mathrm{d} t} = \frac{B ( \frac{1}{2} r^2  \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}) \mathrm{d}t }{\mathrm{d} t} = B ( \frac{1}{2} r^2  \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}) = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t}
\]

En employant la notation des physiciens~: $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$, on a~:

\[
U = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta}
\]

Ici $\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d}t} = \dot{\theta}$ doit être exprimé en \unit{\radian\per\second}

\[
1000 \, \text{tr} \cdot \text{min}^{-1} = \frac{1000}{60}\, \text{tr} \cdot \text{sec}^{-1} = \frac{1000}{60} \times 2 \pi \, \unit{\radian\per\second} 
\]

Avec $r = \qty{0,1}{\meter}$ et $B = \qty{0,5}{\tesla}$

\[
U =  0,5 \times \frac{1}{2} \times 0,1^2 \times \frac{1000}{60} \times 2 \pi = \qty{2,618e-1}{\volt}
\]



\vspace{1cm}


Une autre solution possible utilise le fait que la vitesse d'entraînement est constante~:

\[
\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = \text{cte} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}
\]


En effectuant un tour le rayon décrit la surface du disque~: $\pi \cdot r^2$. Le disque tournant à $1000 \, \text{tr} \cdot \text{min}^{-1}$, la surface balayée par seconde est~:

\[
\frac{1000}{60} \times (\pi \cdot r^2)
\]

Ce qui va revenir au même bien entendu\dots

\[
U = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta} = B \cdot \pi \cdot r^2 \cdot N
\]

où $\frac{\dot{\theta}}{2 \pi} = N$, avec $\dot{\theta}$ la vitesse de rotation du disque en radians par seconde et  $N$ la vitesse de rotation de ce même disque en tours par seconde.


\paragraph{Résistance $R$ connectée entre $O$ et $O'$}

Le circuit électrique étant désormais fermé, la f.é.m. U va créer un courant. Nous avons vu que si la vitesse de rotation a pour sens celui de la figure \vref{fig:mcc1}, la borne $+$ correspond au charbon $O'$. Le courant circule de $O$ vers $O'$ et la règle des trois doigts de la main droite indique que le sens de la force de Laplace qui s'exerce sur le rayon $OO'$, comme le montre la figure \vref{fig:mcc1}.

Le courant débité sur la résistance $R$ vaut~: 

\[
I = \frac{U}{R} = \frac{B \cdot r^2}{2 \cdot R} \cdot \dot{\theta}
\]

Ainsi, la force de Laplace qui apparaît sur le rayon $OO'$ est égale à~:

\[
F = B \cdot I \cdot L = B \cdot I \cdot r = B \cdot \frac{B \cdot r^2}{2 \cdot R} \cdot \dot{\theta} \cdot r = \frac{B^2 \cdot r^3}{2 \cdot R} \cdot \dot{\theta}
\]


Le point d'application de la résultante des forces de Laplace se situe au milieu de la ligne de courant, soit à une distance $\frac{r}{2}$ du centre de rotation $O$. On en déduit le couple résistant qui s'oppose au couple moteur qui maintient le disque en rotation~:

\[
C_{\text{résistant}} = F \times d = F \times \frac{r}{2} = \frac{B^2 \cdot r^4}{4 \cdot R} \cdot \dot{\theta}
\]

Si le couple résistant devient égal au couple moteur, alors, d'après le principe fondamental de la dynamique des systèmes en rotation, l'accélération angulaire s'annule et la vitesse $\dot{\theta}$ devient constante. Connaissant le couple moteur appliqué, on peut calculer la vitesse angulaire limite atteinte~:

\[
\dot{\theta}_{\text{limite}} = \frac{C_{\text{moteur}} \cdot 4 R}{B^2 \cdot r^4}
\]



\begin{figure}[h!]
\centering
\begin{circuitikz}[scale=1.3, every node/.style={scale=1.2}]
%roue Barlow
\draw (0,0) ellipse (3cm and 1cm);
%axe vertical
\draw [thick, -latex] (0,-3) -- (0,3);
%centre O
\draw (0,0) node {$\bullet$} node [above left] {O};
\draw (3.11,0) node [above right] {O'};

\draw[dashed](0,0)--(3,0);
\draw(1.5,0)node{\huge $\bigodot$};
\draw(1.5,0)node[below right]{$\vv{F}_{\text{Laplace}}$};



%charbon sur l'axe
\draw (0.11,-2) node {$\filledmedsquare$};
\draw (0.1,-2)to[short, i<=$I$](4,-2);
%charbon sur le disque
\draw node at (3.11,0) {$\filledmedsquare$};
\draw (3.11,0)to[short](4,0);

%source tension
\draw (4,-2)to[/tikz/circuitikz/bipoles/length=0.7cm,R,l_=$R$](4,0);


%vitesse rotation omega
\draw [xshift=0.3cm,rotate around={180:(-0.4,2.2)},-stealth] (-0.25,2) arc (-30:210:0.3cm and 0.2cm) node[below left=0.3cm] {$\dot{\theta}$};
%rotate around permet de faire une rotation autour d'un point particulier (ici de 180° autour de (-0.4,2.2)
%line width gère l'épaisseur du trait

%vecteurs champ magnétique
\draw [very thick,red,-latex] (0.5,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (1.5,0) --++ (0,1.2)node[above] {$\vv{B}$};
\draw [very thick,red,-latex] (2,0) --++ (0,1.2);
\draw [very thick,red,-latex] (2.5,0) --++ (0,1.2);

\end{circuitikz}
\caption{Machine à courant continu élémentaire, fonctionnement en générateur.}
\label{fig:mcc1}
\end{figure}




\subsubsection{Solution~: Roue de Barlow fonctionnement en moteur \vref{barlow_moteur} \label{sol_barlow_moteur}}





Si, maintenant, on applique une d.d.p. $E$ entre les balais, un courant électrique va circuler dans le disque suivant le rayon $OO'$. Ce courant sera soumis à une force de Laplace. Courant et champ magnétique étant perpendiculaire, on a~:

\[
F = B \cdot I \cdot L = B \cdot I \cdot r
\]

L'intensité sera égale à~:

\[
I = \frac{E}{R} = \frac{0,5}{0,05} = \qty{10}{\ampere}
\]

Il en découle que $F = B \cdot I \cdot r = 0,5 \times 10 \times 0,1 = \qty{0,5}{\newton}$.

Le couple au démarrage est donc~:

\[
C_{\text{démarrage}} = F \times \frac{r}{2} = 0,5 \times \frac{0,1}{2} = \qty{0,025}{\newton\metre}
\]

Le point d'application de la force $F$ se situe à la distance $\frac{r}{2}$ de l'axe.

Sous l'impulsion du couple de démarrage, le disque va se mettre à tourner et à accélérer. Ce faisant, la f.é.m. calculée précédemment -- qui est maintenant une f.c.é.m. -- ($U = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta}$) va se développer et augmenter, s'opposant ainsi au passage du courant.


En l'absence de frottements, la vitesse de rotation va tendre vers une valeur limite telle que la f.é.m. soit égale à la f.c.é.m., l'intensité qui circule alors est nulle (en présence de frottement, la circulation d'une
intensité non nulle demeurerait nécessaire pour vaincre le couple de frottement).

\shorthandoff{:!} 
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}[scale=01, every node/.style={scale=0.9}]
\draw
(0,0)to[V,v=\makebox{$U = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta}$},-*](0,3)
(0,0)to[R,l=$R$](3,0)
(3,0)to[V, v_=$E$,-*](3,3)
(0,3)--(3,3)
;
\draw(0,3)node[above]{$O$};
\draw(3,3)node[above]{$O'$};
\end{circuitikz}   
\caption{Circuit électrique équivalent du disque alimenté par le générateur de tension $E$ avec $\dot{\theta}$ vitesse de rotation du disque en radians par seconde \label{fig:Barlow}}
\end{figure}
\shorthandon{:!}


Le circuit électrique équivalent du disque alimenté par le générateur de tension E, voir la figure \vref{fig:Barlow}, montre que pour déterminer la vitesse limite, on résout l'équation~:

\[
E = R \cdot I + \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta} \; \text{avec} \; I = 0
\]

\[
E = \frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta} \Rightarrow \dot{\theta} = \frac{2E}{B \cdot r^2} = \frac{2 \times 0,5}{0,5 \times 0,1^2} = \qty{200}{\radian\per\second} = 1910 \text{tr} \cdot \text{min}^{-1}
\]

\bsc{Remarque~:} L'examen de la formule donnant la vitesse~: $\dot{\theta} = \frac{2E}{B \cdot r^2}$ nous indique que celle-ci est proportionnelle à la tension d'alimentation du moteur électrique $E$ et inversement proportionnelle au champ magnétique $B$. Il ne faut jamais débrancher l'excitation d'un moteur à courant continu (les bobines qui créent le champ $B$) sous peine d'emballement de la machine. Si $B$ n'est plus égal qu'au très faible champ terrestre (quelques \unit{\micro\tesla}) alors la vitesse devient très grande. Sous l'effet de la force centrifuge, les conducteurs rotoriques risquent de sortir de leurs encoches, ce qui détruirait la machine. De plus il y aurait risque de projection de morceau de métal hors de la machine, d'où risque de blessure.

En fonctionnement du moteur à vitesse constante~:
\[
C_{\text{moteur}} = C_{\text{résistant}} \Rightarrow (B \cdot I \cdot r) \cdot \frac{r}{2} = C_{\text{résistant}} \Rightarrow I = \frac{2 \cdot C_{\text{résistant}}}{B \cdot r^2}
\]

Le courant absorbé par le moteur à courant continu ne dépend que du couple résistant. \`A vide, le moteur absorbe une très faible intensité.

\vspace{0.3cm}

Si la vitesse de rotation du disque diminue, alors~: $\frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta} < E$. Une intensité circule à nouveau de $O'$ vers $O$. La règle des trois doigts de la main droite nous indique que la force de Laplace est motrice et tend à ramener la vitesse à sa valeur limite.

Si au contraire la vitesse augmente au-delà de la valeur limite, alors $\frac{B \cdot r^2}{2} \cdot \dot{\theta} > E$. Une intensité circule à nouveau, mais cette fois-ci de $O$ vers $O'$. La règles des trois doigts de la main droite nous indique que la force de Laplace freine le disque et tend à ramener la vitesse à sa valeur limite.

Si une source de tension alternative alimente les charbons, le champ magnétique restant constant indépendant du temps, alors l'intensité entre les charbons va changer de sens à chaque demi-période. Cela va entraîner le changement de sens de la force de Laplace qui pointera dans un sens ($\bigoplus$) pendant une demi-période et dans l'autre sens ($\bigodot$) pendant la demi-période suivante. Si la fréquence est suffisante (demi-période plus petite que la constante de temps mécanique), il ne se passera rien~; la roue vibrera sur place, sollicitée dans un sens et immédiatement après dans l'autre sens, sans qu'elle ait eu le temps de bouger.

Par contre, si les bobines qui produisent le champ magnétique sont branchées en série avec les charbons, l'intensité change de sens simultanément dans la roue et dans les bobines. Pendant une demi-période, la règle des trois doigts de la main droite montre le pouce (champ magnétique) qui pointe vers le haut, le majeur (courant) vers la gauche et l'index (la force de Laplace) vers l'avant. Pendant la demi-période qui suit, du fait de l'inversion du courant, le pouce ($\vv{B}$) pointe vers le bas, le majeur ($I$) vers la droite (inversion du courant), mais \emph{l'index ($\vv{F}_{\text{Laplace}}$) pointe toujours vers l'avant}. Au lieu de vibrer sur place comme précédemment, la roue tourne comme si elle était alimentée par une source de tension continue~! Cela explique le fonctionnement des \emph{moteurs universels}, machines à courant continu \emph{série} où rotor et stator (qui produit $\vv{B}$) sont branchés en série.

Pour que ces moteurs fonctionnent correctement, rotor et stator doivent être branchés obligatoirement en \emph{série} et non en parallèle. Dans le cas d'un branchement en dérivation, il n'est, en effet, pas certain que l'intensité s'inverserait au même moment dans le rotor et dans le stator, cela dépendrait de leur impédance, du déphasage du courant par rapport à la tension. Il n'y a aucune raison pour que la phase de l'impédance rotorique soit identique à la phase de l'impédance statorique. Le branchement en série permet l'inversion simultanée du courant dans le rotor et dans le stator et donc la constance du sens de la force de Laplace.

On trouve ces moteurs dans les aspirateurs, dans bon nombre de machines à laver le linge, dans l'outillage portatif alimenté par le secteur (perceuses, tronçonneuses à disque), mixeurs de cuisine, etc.


\vspace{0.3cm}

Voici \href{http://mach.elec.free.fr/video/roue_Barlow.mp4}{un lien vers une vidéo} montrant une roue de Barlow en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.

\vspace{0.2cm}
\href{http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/barlow.html}{Un autre lien vers une appliquette java} de l'université du Mans simulant la roue de Barlow.


\subsection{Machine à courant continu}

La figure \ref{fig:MCC} est une représentation schématique d'une machine à courant continu. Le rotor est un cylindre dans lequel des encoches ont été fraisées. Dans ces encoches sont disposés 100 conducteurs reliés deux à deux de manière à former 50 spires. Les conducteurs du rotor ont une longueur active, partie baignée par le champ magnétique statorique, $L = \qty{20}{\centi\meter}$. Le diamètre du rotor est $D = \qty{15}{\centi\meter}$. Des charbons frottent sur les lamelles du collecteur pour amener le courant dans ces conducteurs, ou pour l'en extraire. Afin d'alléger le schéma, cela n'est pas représenté ici, mais on pourra consulter \href{http://mach.elec.free.fr/mcc/MCC.pdf}{ce diaporama au format PDF} pour se faire une idée plus précise de la constitution d'une véritable machine.

\paragraph{Fonctionnement en moteur \label{exo:MCC_moteur}} La moitié gauche des conducteurs est parcourue par des courants qui s'enfoncent dans les conducteurs $\bigoplus$, la moitié droite des conducteurs rotoriques est parcourue par des courants qui circulent dans l'autre sens, vers l'avant de la machine $\bigodot$.

 Les conducteurs rotoriques sont placés dans un champ $B$ de \qty{1,2}{\tesla} créé par le stator, l'intensité du courant qui les parcourt est de \qty{50}{\ampere}.


\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{images/MCC_exo.jpg}
\caption{Constitution d'une machine à courant continu.}
\label{fig:MCC}
\end{figure}

\begin{itemize}
\item \label{question:force_conducteur} Calculer la force qui s'exerce sur chacun des conducteur du rotor.
\item \label{question:couple} Calculer le couple résultant qui entraîne le rotor.
\end{itemize}



\paragraph{Fonctionnement en dynamo \label{exo:MCC_dynamo}}
Le champ magnétique créé par le stator est toujours de \qty{1,2}{\tesla}. Le rotor est maintenant entraîné par un dispositif extérieur (turbine hydraulique, à vapeur ou encore moteur thermique) à la vitesse de $N= \num{2000}$ tours par minute.

\begin{itemize}
\item Calculer la d.d.p. qui apparaît aux bornes d'un des 100 conducteurs du rotor, aux bornes d'une spire rotorique.
\item Des connexions permettent de relier en série les 50 spires rotoriques, cette d.d.p. est recueillie par les charbons au niveau du collecteur. Calculer cette d.d.p. totale.
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer le sens de rotation du rotor afin que les f.é.m. induites aient le sens indiqué sur la figure \vref{fig:MCC}.
\end{itemize}
  
\vspace{1.5cm} 
  
\subsubsection{Solution : Machine à courant continu}

\paragraph{Solution des questions \vref{exo:MCC_moteur}}
\[
F = B \times I \times \ell = 1,2 \cdot 50 \cdot 0,2 = \qty{12}{\newton}
\]

En appelant le bras de levier $d = \frac{15}{2} =\qty{7,5}{\centi\meter}$ et $N$ le nombre total de conducteurs sur lesquels s'exerce la force de Laplace, il vient~:

\[
C = F \times d \times N = 12 \cdot 0,075 \cdot 100 = \qty{90}{\newton\meter}
\]


\paragraph{Solution des questions \vref{exo:MCC_dynamo}}

La formule $\lvert e \rvert = B \cdot L \cdot V$ permet de calculer la d.d.p. aux bornes d'un conducteur. La vitesse tangentielle $V$ est relié à la vitesse de rotation $N$ par~:

\[
V = \frac{\pi \cdot D \times N }{60} = \frac{\pi \times 0,15 \times 2000}{60} = \qty{15,71}{\metre\per\second}
\]

Ainsi, la f.é.m. aux bornes d'un conducteur est~:

\[
\lvert e \rvert = B \cdot L \cdot V = 1,2 \times 0,20 \times 15,71 = \qty{3,77}{\volt}
\]

Une spire comporte deux conducteurs en série, la f.é.m. aux bornes d'une spire est donc de $2 \times 3,77 = \qty{7,54}{\volt}$.

Si les 50 spires sont en série, cela permet de recueillir une f.é.m. totale de $50 \times 7,54 = \qty{377}{\volt}$ entre les charbons.


La figure \vref{fig:MCC} montre que dans les conducteurs de gauche ($\bigoplus$) le courant tend à circuler de l'avant vers l'arrière, le majeur est tourné dans ce sens, le pouce dans le sens du champ $\vv{B}$ de la gauche vers la droite, par conséquent, l'index pointe vers le haut. Le rotor doit tourner dans le sens horaire.

Pour les conducteurs de droite de la figure \vref{fig:MCC} ($\bigodot$) le courant tendrait à circuler de l'arrière vers l'avant, le majeur de la main gauche devrait être orienté dans ce sens, le pouce dans le sens du champ $\vv{B}$ de la gauche vers la droite, par conséquent, l'index pointe vers le bas. Cela définit toujours le même sens de rotation pour le rotor~: le sens horaire.

\paragraph{Pour en savoir plus sur la machine à courant continu} 


\href{http://mach.elec.free.fr/video/moteur_electrique.webm}{cette vidéo} tirée du film \og Voyage en électricité \fg{} explique le principe de fonctionnement des moteurs à courant continu plus élaborés que la roue de Barlow.

\href{http://mach.elec.free.fr/video/principe_MCC.mp4}{Cette vidéo-ci} explique la même chose, mais en anglais avec des illustrations plus réalistes.

Enfin, \href{https://www.walter-fendt.de/html5/phfr/electricmotor_fr.htm}{cette appliquette Java} réalisée par Walter Fendt illustre le fonctionnement d'un moteur à courant continu réduit à sa plus simple expression. Vours pourrez vous entraîner à retrouver le sens des forces de Laplace qui s'exercent sur les conducteurs rotoriques à l'aide de la règle des trois doigts de la main droite. En diminuant la vitesse de rotation, vous pourrez examiner à loisir le rôle essentiel du collecteur et des charbons dans l'inversion des forces de Laplace lorsque la spire passe dans le plan horizontal (onduleur mécanique). Beaucoup de choses sont modifiables sur cette appliquette.

Cette appliquette permet aussi de comprendre le fonctionnement en dynamo, pour cela il faut cocher la case \og Avec commutateur \fg. Là-aussi, il faut s'entraîner à retrouver le sens des courants induits à l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche. Il faut prendre conscience du fait qu'un des deux charbons frotte toujours sur la demi-lame du collecteur où arrive le courant tandis que l'autre est toujours en contact avec la lame par lequel le courant est \og aspiré \fg{} par les conducteurs rotoriques. La tension recueillie est donc continue.

Enfin, \href{http://mach.elec.free.fr/mcc/MCC.pdf}{ce diaporama} vous résumera le fonctionnement des machines à courant continu en vous montrant des photographies de véritables machines.

Un cours complet sur la machine à courant continu se trouve \href{http://mach.elec.free.fr/mcc.htm}{ici}


\subsection{Machine asynchrone}

80 \% des moteurs électriques utilisés sont des moteurs asynchrones monophasés ou triphasés. Ces moteurs s'imposent en effet dans un grand nombre d'applications en raison des avantages qu'ils présentent~: normalisés, ils sont robustes, simples d'entretien, faciles à mettre en \oe uvre et de faible coût. Au contraire de la machine à courant continu, la machine asynchrone ne possède pas de charbons, ainsi les problèmes liés à l'usure de ceux-ci n'existent pas.

Une machine asynchrone est également appelée une machine à induction. C'est une machine électrique qui fonctionne en utilisant l'induction électromagnétique (loi de Fraday - Lenz). Elle se compose d'un stator (partie fixe) et d'un rotor (partie tournante) constitué de spires en court-circuit (la fameuse \og cage d'écureuil \fg).

Lorsqu'on alimente le stator de la machine asynchrone avec une source de tension alternative, un champ magnétique tournant est créé dans le stator, qui tourne à une certaine vitesse appelée la vitesse de synchronisme $n = \frac{f}{p}$ avec $n$ en tour par seconde, $f$ la fréquence des tensions et des courants statoriques en \unit{\hertz} et $p$ le nombre de bobine par phase (une bobine = une paire de pôles).

Si le rotor tourne à une vitesse différente de la vitesse de synchronisme, il y a une différence de vitesse entre le champ magnétique tournant du stator et le champ magnétique dans le rotor. Cette différence de vitesse induit une force électromotrice (f.é.m.) dans les spires du rotor. Celles-ci étant en court-circuit, des courants circulent dans le rotor. L'interaction entre ces courants et le champ tournant rotorique créé des forces de Laplace qui entraîneront le rotor dans le sens du champ statorique -- fonctionnement moteur -- ou bien en sens inverse -- fonctionnement en génératrice asynchrone.


\subsubsection{Principe du moteur asynchrone}

Considérons une machine asynchrone simplifiée à l'extrême, le rotor ne comporte qu'une seule spire baignée par le champ tournant statorique.

La figure \vref{fig:spire} montre une spire ABCD en court-circuit, située dans un champ magnétique $\vv{B}$, et mobile autour d'un axe xy. Si, par exemple, le champ magnétique tourne dans le sens horaire, la spire est soumise à un flux variable et devient le siège d'une force électromotrice induite qui donne naissance à un courant induit $i$ (loi de Faraday).

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{images/principe_mat.jpg}
\caption{Création d'un courant induit dans une spire en court-circuit.}
\label{fig:spire}
\end{figure}

L'explication du fonctionnement \og moteur \fg{} de la machine asynchrone avec la plus grande économie de moyen fait appel au principe du flux maximal. Celui-ci indique que la spire va tourner pour essayer d'être constamment perpendiculaire au champ magnétique afin que le flux qui la traverse soit maximum.

Allons un peu plus au fond des choses~:

\begin{enumerate}
\item Y a-t-il un courant induit dans les conducteurs AD et BC~? Pourquoi~?
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, retrouver le sens du courant induit dans les conducteur AB et CD.
\item Déduire du sens du courant dans les conducteurs AB et CD le sens de la force de Laplace qui s'exerce sur ceux-ci.
\item En déduire le sens du couple.
\item La spire peut-elle tourner à l'exact vitesse du champ tournant $\vv{B}$~?
\end{enumerate}

La figure \vref{fig:couple_rotor} montre un rotor de machine asynchrone. Il faut considérer les barreaux de la \og cage d'écureuil \fg{} comme formant des spires. Une spire étant constituée d'un barreau associé avec celui qui lui est diamétralement opposé. Les pôles nord et sud qui tournent représentent le champ tournant créé par le stator.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[scale=3]{images/principe_mat3.jpg}
\caption{Forces exercées sur une spire du rotor d'une machine asynchrone.}
\label{fig:couple_rotor}
\end{figure}

\subsubsection{Principe de la génératrice asynchrone}

Désormais la spire ABCD est entraînée à une vitesse supérieure à celle du champ magnétique tournant.

\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer le le sens de la d.d.p. induite dans les conducteur AB et CD par rapport à la situation précédente.
\item Déduire du sens du courant dans les conducteurs AB et CD le sens de la force de Laplace qui s'exerce sur ceux-ci, si tant est que du courant circule\dots
\item En déduire le sens du couple.
\end{enumerate}


Un cours complet sur la machine asynchrone se trouve \href{http://mach.elec.free.fr/mat.htm}{ici}


\subsection{Machine synchrone}

\subsubsection{Principe de l'alternateur}



Le conducteurs AB du stator d'un alternateur est baigné par le champ magnétique rotorique de \qty{0,6}{\tesla} sur une longueur de \qty{2}{\metre} comme le montre la figure \vref{fig:principe_alternateur}. L'extrémité des pôles du rotor se déplace à une vitesse tangentielle de \qty{100}{\metre\per\second} par rapport aux conducteurs tels que AB.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de la tension induite entre A et B lors du passage d'un pôle devant ce conducteur.
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer la place de la borne $+$ (en A ou en B) lorsque le pôle nord passe devant AB.
\item Toujours à l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, vérifier que la tension dans le conducteur s'inverse lors du passage du pôle suivant. Il est rappelé que les pôles sont toujours alternés sur le pourtour du rotor~: nord -- sud -- nord -- sud -- etc. ceci vaut également pour un stator.
\end{enumerate}


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.2]{images/principe_alternateur.jpg}
\caption{Principe du fonctionnement d'un alternateur  \label{fig:principe_alternateur}}
\end{figure}


\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur de la tension induite entre A et B lors du passage d'un pôle devant ce conducteur.
\item \`A l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, déterminer la place de la borne $+$ (en A ou en B) lorsque le pôle nord passe devant AB.
\item Toujours à l'aide de la règle des trois doigts de la main gauche, vérifier que la tension dans le conducteur s'inverse lors du passage du pôle suivant. Il est rappelé que les pôles sont toujours alternés sur le pourtour du rotor~: nord -- sud -- nord -- sud -- etc. ceci vaut également pour un stator.
\end{enumerate}


\href{https://www.walter-fendt.de/html5/phfr/generator_fr.htm}{Cette appliquette Java de Walter Fendt} permet de comprendre le fonctionnement d'un alternateur monophasé, il faut cocher la case \og Sans commutateur \fg. L'application de la règle des trois doigts de la main gauche aux conducteurs rotoriques permet de constater que la tension s'inverse dans ces conducteurs chaque fois que la spire passe dans le plan horizontale, chaque fois qu'un conducteur passe d'un demi-tour dans le plan au-dessus de l'horizontale à un demi-tour en dessous. La vitesse de translation horizontale des conducteurs rotoriques s'inverse à ce moment là, ainsi que la tension. Les anneaux recueillent ainsi des tensions alternatives\dots

\href{http://mach.elec.free.fr/ms/alternateurs.pdf}{Ce diaporama} vous résumera le fonctionnement de l'alternateur en vous montrant des photographies de machines inductrielles.

Aussi bien la machine asynchrone que la machine synchrone font appel aux champs magnétiques tournants. Bien que ceux-ci ne soient pas au programme, il est assez facile de comprendre comment ils sont créés en lisant \href{http://mach.elec.free.fr/divers/champ_magnetique_tournant.pdf}{ce court document}

Un cours complet sur la machine synchrone se trouve \href{http://mach.elec.free.fr/ms.htm}{ici}.





\begin{comment}
Chacun des 36 pôles de la roue polaire d'un alternateur de 500 MVA (voir photographie \vref{fig:rotor_alternateur}) est composé de 21 spires de cuivre ayant une section de 11 X \qty{88}{\milli\metre}. Les bobines ont une longueur de \qty{3,10}{\metre} et une largeur de \qty{0,70}{\metre}. Le courant d'excitation est de \qty{2400}{\ampere} et que les pôles sont raccordés en série.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1]{images/generator-rotor.jpg}
\caption{Rotor d'un alternateur entraîné par une turbine hydraulique   \label{fig:rotor_alternateur}}
\end{figure}

Calculer~:

\begin{enumerate}
\item La F.M.M. par pôle.
\item La tension d'excitation requise si la résistivité du cuivre à la température de fonctionnement de la machine est de \qty{23,028e-3}{\ohm\milli\metre\squared\per\metre}
\item La puissance d'excitation en \unit{\kilo\watt}
\end{enumerate}

\end{comment}

\newpage

\subsection{Transformateur}

Le transformateur est une machine électrique qui transforme une tension et un courant \textit{alternatif} en une autre tension et un autre courant alternatif, de même fréquence et de même forme d'onde, seule l'amplitude change.

Le transformateur ne comporte aucune pièce en mouvement, c'est une machine entièrement statique.

la figure \vref{fig:transformateur} montre la composition d'un transformateur. Il se compose essentiellement d'un circuit magnétique, en gris sur la figure, sur lequel sont enroulés deux bobines en fil de cuivre ou d'aluminium. Une de ces deux bobines est le \og primaire \fg{} dont les grandeurs portent l'indice $1$, c'est elle qui reçoit la tension à modifier. L'autre bobine est le secondaire \og secondaire \fg{} dont les grandeurs portent l'indice $2$, c'est elle qui alimente les récepteurs avec la tension modifiée. 

\vspace{0.3cm}


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=1.3, every node/.style={scale=1.1}, rotate=-5, xslant=-0.1]
%inner square side length
\def\a{3.0}
%outer square side length
\def\b{5.0}
% x displacement of back squares
\def\dx{0.8}
% y displacement of back squares
\def\dy{0.5}
\def\lx{1.0}
\def\ly{1.0}
% round corner correction
\def\dr{0.02}
\begin{scope}[even odd rule]
\filldraw[rounded corners=2pt, fill=gray, rotate=-0, opacity=1.0] (\dx,
\dy) rectangle ++(5,5) (\lx+\dx,\ly+\dy) rectangle ++(\a, \a);
\fill [rounded corners=2pt, fill=gray] (\b, 0) --++ (0, \dy+\dr+0.02) --++(\dx, 0) --cycle;
\fill [rounded corners=2pt, fill=gray] (0, \b) --++ (\dx+\dr+0.02, 0) --++(0, \dy)--cycle;
\filldraw[rounded corners=2pt, fill=gray!50] (0,0) rectangle
++(\b, \b) (\lx,\ly) rectangle ++(\a, \a);
\draw (\b-\dr,\dr) --++(\dx, \dy);
\draw (\b-\dr,\b-\dr) --++(\dx, \dy);
\draw (\dr,\b-\dr) --++(\dx, \dy);
\draw [blue, thick, postaction={decorate}] (0, \ly) --++(-1.5,0);
\foreach \z in {0,.24,.48,...,2.5}
    {
    \draw [rounded corners=2pt,blue, thick]
    (-0.0,\ly+\z+0.08)--(-0.09,\ly+\z) -- (\lx, \ly+\z)--++(0.89,0.5)
    --++(-0.08, 0.05);
}
\draw [rounded corners=2pt,blue, thick, postaction={decorate}] (-1.5,
\ly+2.8) --++(1.5,0) node[black, above, pos=0.4] {$I_1$};
\draw[latex-latex] (-\lx, \ly) --++(0, 2.8) node[midway, left] {$V_1$};

\draw [rounded corners=2pt,red, thick] (\a+\lx-2*\dr,
\ly+2*\dr)--++(-\dr, -\dr)--++(\lx+\dx+2*\dr, 0);
\draw [red, postaction={decorate}] (\b+\dx-\dr, \ly+\dr)--++(\a/2, 0);
\draw [rounded corners=2pt, red, thick, postaction={decorate}]
(\a+3*\lx-0.2, \ly+3.1) --++(\a/2, 0) node[black, midway, above] {$I_2$};
\foreach \z in {.125,.25,.375,...,2.5}
    {
    \draw [rounded corners=2pt, red, thick] (\a+\lx,\ly+\z+0.1)--
    (\a+\lx-0.07,\ly+\z) -- (\a+2*\lx, \ly+\z)--++(0.87,0.5)--++(-0.06,
    0.06);
    }
\draw[latex-latex] (2*\a+\lx, \ly) --++(0, 3.1) node[midway, left] {$V_2$};
\draw(2.1,2.7)node{$N_1$};
\draw(3.7,2.65)node{$N_2$};
\draw[dashed](0.5,0.5)rectangle++(4,4);
\draw (6.3,5)--(6.6,5)node[right, pos=0.9] {\small$\Phi$};
\draw[-stealth](6.3,5)--(4.5,4.2);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Constitution d'un transformateur.  \label{fig:transformateur}}
\end{figure}



On considérera un \textit{transformateur parfait, idéal} dans lequel~:

\begin{itemize}
\item \mbox{\begin{cursive} R \end{cursive}\hspace{-0.1cm}$=0$}, la réluctance du circuit magnétique est nulle~;
\item $R_1 = R_2 = 0$, les résistances des bobines primaires et secondaires sont nulles~;
\item les pertes dans le fer sont nulles (courant de Foucault et pertes par hystérésis)~;
\item les fuites magnétiques sont nulles (le même flux $\Phi$ traverse les enroulements primaires et secondaires).
\end{itemize}

On notera $N_1$ le nombre de spires de l'enroulement primaire et $N_2$ celui du secondaire.


\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la formule de Faraday, établir une relation entre la tension efficace $V_1$, $N_1$ le nombre de spires de l'enroulement primaire et le flux $\Phi$ circulant dans le circuit magnétique du transformateur.
\item \`A l'aide de la formule de Faraday, établir une relation entre le flux $\Phi$ circulant dans le circuit magnétique du transformateur, $N_2$ le nombre de spires de l'enroulement secondaire et la tension efficace $V_2$.
\item En déduire la relation entre $V_2$, $V_1$, $N_1$ et $N_2$.
\item En négligeant les pertes, en considérant le transformateur comme \og idéal \fg{} ou \og parfait \fg, en déduire  une relation entre la puissance apparente au secondaire $S_2$ et la puissance apparente au primaire $S_1$. En déduire une relation entre $I_2$ et $I_1$.
\item En réalité, des pertes apparaissent dans le circuit magnétique. Ces pertes sont de deux sortes~: les pertes par hystérésis, auxquelles nous ne nous intéresserons pas, et les pertes par courants de Foucault. Ces dernières sont dues à l'effet Joule ($R \cdot i^2$) provoqué par la circulation des courants de Foucault produits par la f.é.m. $\lvert e \rvert = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}$ due à la loi de Faraday. Comment peut-on diminuer les pertes par courants de Foucault~?
\end{enumerate}



\subsubsection{Solution : Transformateur}




Le flux total à travers le primaire est égal au flux $\Phi$ à travers une seule spire multiplié par le nombre de spires du primaire.

De la même manière, le flux total à travers le secondaire est égal au flux $\Phi$ à travers une seule spire multiplié par le nombre de spires du secondaire.

D'après loi de Faraday, on a~:

\begin{align*}
V_1 &= N_1 \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \\
V_2 &= N_2 \cdot \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
\end{align*}


On en déduit~:

\[
\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1}
\]

Si on néglige les pertes, alors les puissances apparentes sont les mêmes au primaire et au secondaire~:

\[
S_1 = S_2 \Rightarrow V_1 \times I_1 = V_2 \times I_2 \Rightarrow \frac{V_2}{V_1} = \frac{I_1}{I_2}
\]

On en déduit la formule du transformateur parfait~:

\[
\boxed{\frac{V_2}{V_1} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{I_1}{I_2}}
\]

$\frac{N_2}{N_1}$ est appelé le rapport de transformation du transformateur.

\bsc{Remarque~:} Si on a $N_2 > N_1$, il en résulte l'inégalité $V_2 > V_1$. L'enroulement secondaire sera donc l'enroulement haute tension et l'enroulement secondaire sera l'enroulement basse tension. On aura un transformateur élévateur de tension. Mais le même transformateur peut abaisser la tension en intervertissant primaire et secondaire.

\paragraph{Diminution des pertes}


Suggestions~: examiner soigneusement la loi de Faraday et déterminer sur quel paramètre du circuit magnétique agir pour diminuer $\lvert e \rvert$. Se demander s'il serait possible de modifier le matériau dans lequel se développe les courants de Foucault.

Pour diminuer les pertes par courants de Foucault ($R \cdot i^2$), il faut réduire l'intensité de ces courants. On peut envisager d'augmenter la résistivité $\rho$ du fer employé pour constituer le circuit magnétique. Les métallurgistes ont trouvé une solution consistant à créer un alliage de fer et de silicium (avec environ 3 \% de silicium). Cela permet d'augmenter sensiblement la résistivité du fer tout en préservant les bonnes qualité magnétique de l'alliage ainsi constitué.


Le deuxième moyen pour diminuer les courants de Foucault consiste à diminuer la f.é.m. qui créé ces courants. En examinant la loi de Faraday~:

\[
\lvert e \rvert = \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t} = S \times \frac{\mathrm{d} B}{\mathrm{d}t}
\]

avec $S$ la section du circuit magnétique, on voit qu'il est possible de diminuer $\lvert e \rvert$ en diminuant la section $S$. \'Evidemment il ne faut pas diminuer la section du circuit magnétique sous peine d'en augmenter la réluctance. Mais en \og feuilletant \fg{} le circuit magnétique comme le montre la figure \vref{fig:feuilletage}, on parvient à diminuer $S$, la section du fer dans laquelle apparaît la f.é.m. $\lvert e \rvert$ tout en conservant la section globale du circuit magnétique et donc en n'augmentant pas la réluctance. Par exemple, au lieu de constituer un circuit magnétique de section \qty{1}{\centi\metre\squared} avec du fer \og massif \fg, on peut juxtaposer 20 tôles de \qty{1}{\centi\metre} de largeur et de \qty{0,5}{\milli\metre} d'épaisseur, tôles recouvertes d'une très fine couche d'isolant électrique \footnote{L'isolation des tôles s'effectue en les recouvrant d'un mélange de phosphate de magnésium ou d'aluminium et de silice colloïdale d'une épaisseur d'environ \qty{3}{\micro\metre}. On a utilisé des feuilles de papier jusqu'aux années 1940 environ.}. Cela reviendra au même pour le flux $\Phi$ qui verra la même réluctance, la section utile du circuit magnétique n'ayant pas changé. Mais dans les tôles, la f.é.m. due à la loi de Faraday est diminuée par 20, ainsi que le courant de Foucault qui en résulte. Comme les pertes Joule sont proportionnelle au carré de l'intensité, cela divise les pertes par $20^2 =400$~!

Dans l'industrie, les tôles magnétiques ont des épaisseurs nominales de 0,35, 0,50 et \qty{0,65}{\milli\metre}

On parvient à avoir des \og pertes fer \fg, somme des pertes par courants de Foucault et des pertes par hystérésis, comprises entre \qty{1,6}{\watt\per\kilogram} et \qty{2,6}{\watt\per\kilogram} pour des tôles de qualité courante (fréquence de \qty{50}{\hertz} et champ magnétique maximum de \qty{1}{\tesla}). Les métallurgistes ont élaboré des procédés de laminage permettant de diminuer considérablement le frottement des nano-aimants les uns par rapport aux autres pour peu que le champ magnétique alternatif soit appliqué dans la direction privilégiée du laminage. Ces tôles sont appelées \og tôles à grains orientés \fg.
En employant de telles tôles pour constituer des circuits magnétiques, les pertes peuvent diminuer jusqu'à \qty{0,6}{\watt\per\kilogram}.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.17]{images/feuilletage.jpg}
\caption{Feuilletage d'un circuit magnétique.  \label{fig:feuilletage}}
\end{figure}



Les pertes par hystérésis sont dues au phénomènes suivant~:

On peut envisager les matériaux ferromagnétiques comme constitués de nano-aimants. Ces nano-aimants sont mobiles les uns par rapport aux autres avec toutefois un certain coefficient de frottement non nul. Ces nano-aimants tendent à s'orienter dans la direction d'un champ magnétique extérieur qui baignerait le matériau. Le coefficient de friction entre nano-aimants permet de distinguer les matériaux magnétiques \og durs \fg{} pour lequels ce coefficient est élevé, des matériaux magnétiques \og doux \fg{} pour lesquels il est faible. Ainsi, le fer à peu près pur est \og doux \fg, il se magnétise facilement lorsqu'un champ magnétique extérieur lui est appliqué, les nano-aimants s'orientant facilement dans la direction du champ extérieur. Par contre il se démagnétise tout aussi facilement, les nano-aiments retrouvant des orientations dans toutes les directions, dès que le champ extérieur s'annule. Les matériaux \og durs \fg{}, au contraire, conservent une aimantation plus ou moins importante, car, du fait du fort frottement entre eux, les nano-aimants restent alignés dans la direction imposée par le champ extérieur même quand celui-ci a disparu.

Les matériaux magnétiques durs servent à fabriquer les aimants permanents. Les matériaux magnétiques doux servent à fabriquer les électro-aimants dans lesquels on veut que l'aimantation s'annule dès que le courant qui créé le champ magnétique extérieur au fer cesse.

Si le champ extérieur voit sa direction changer de \qty{180}{\degree}, alors les nano-aimants se retournent. Si ces modifications de direction se produisent à grande fréquence, alors les frottements entre nano-aimants produisent de la chaleur que l'on appelle \og pertes par hystérésis \fg.

Bien entendu, les machines synchrones et asynchrones qui fonctionnent avec des tensions alternatives produisant des champs magnétiques variables dans leurs circuits magnétiques sont, elles aussi, le siège de pertes fer. Par conséquent leurs circuits magnétiques sont également feuilletés, constitués de tôles d'acier au silicium et, si possible, à grains orientés.

\subsubsection{Fonctionnement du transformateur}

le primaire transforme l'énergie électrique reçue de la source de tension alternative en énergie magnétique.

Le circuit magnétique transmet l'énergie magnétique au secondaire.

Le secondaire transforme l'énergie magnétique reçue en énergie électrique fournie aux récepteurs alimentés par le transformateur.

\bsc{remarque~:} La formule de Faraday~: $V_2 = N_2 \cdot \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d}t}$ montre que le transformateur ne peut fonctionner qu'avec une tension variable au cours du temps, sinon la dérivée de la tension par rapport au temps est nulle et il n'apparaît aucune tension au secondaire. Le transformateur ne fonctionne pas avec des tensions continues constantes.

Il faut visionner \href{http://mach.elec.free.fr/video/transfo_necessite_du_circuit_magnetique.mp4}{cette vidéo} pour se convaincre de la nécessité du circuit magnétique en fer pour le bon fonctionnement du transformateur.

\subsubsection{Analogie mécanique du transformateur}

L'égalité des puissances apparentes pour un transformateur supposé idéal suggère l'analogie mécanique suivante~: considérons deux poulies reliées par une courroie comme le montre la figure \vref{fig:analogie_transformateur}. Si, dans la transmission d'une puissance $P$, aucune perte ne se produit d'une poulie à l'autre, on a, en désignant par $C_1$, $C_2$ les couples et $\Omega_1$, $\Omega_2$  les vitesses des deux poulies~:

\[
C_1 \cdot \Omega_1 = C_2 \cdot \Omega_2 \Rightarrow \frac{C_2}{C_1} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{\Omega_1}{\Omega_2}
\]

Il y a une analogie entre le couple et la tension d'une parte et entre l'intensité et la vitesse de rotation d'autre part. Dans le système mécanique, la courroie assure la transmission de la puissance d'une poulie à l'autre. Dans le cas du transformateur, c'est le flux canalisé par le circuit magnétique qui joue le rôle de la courroie et qui transmet la puissance du primaire au secondaire.

 \begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=2,tangent of circles/.style args={%
at #1 and #2 with radii #3 and #4}{insert path={%
let \p1=($(#2)-(#1)$),\n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={veclen(\y1,\x1)*1pt/1cm},
    \n3={atan2(#4-#3,\n2)}
     in ($(#1)+(\n3+\n1+90:#3)$) -- ($(#2)+(\n3+\n1+90:#4)$)}}]
 \pgfmathsetmacro{\offscale}{1.04}
 %
 \draw[blue] (0,0) coordinate (c1)  circle[radius=1.25cm]
   (4,0) coordinate (c2)  circle[radius=0.5cm];
 \draw[red,tangent of circles={at c1 and c2 with radii \offscale*1.25 and \offscale*0.5}]
 coordinate[pos=0] (tl) coordinate[pos=1] (tr)
 [tangent of circles={at c2 and c1 with radii \offscale*0.5 and \offscale*1.25}]
 coordinate[pos=0] (br) coordinate[pos=1] (bl);
 \draw[red] let \p1=($(tl)-(c1)$),\p2=($(bl)-(c1)$),\n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={atan2(\y2,\x2)}
 in (tl) arc(\n1:\n2+360:\offscale*1.25);
 \draw[red] let \p1=($(tr)-(c2)$),\p2=($(br)-(c2)$),\n1={atan2(\y1,\x1)},\n2={atan2(\y2,\x2)}
 in (tr) arc(\n1:\n2:\offscale*0.5);
 \draw[blue](0,0)node{$\bullet$};
 \draw[blue](4,0)node{$\bullet$};
 \draw[-stealth] (0,0) -- ({1.25*cos(45)},{1.25*sin(45)})node [midway, above]{$R_1$};
 \draw[-stealth] (4,0) --++ ({0.5*cos(45)},{0.5*sin(45)})node [midway, below]{$R_2$};
 %vitesses rotation
 \draw[-stealth](-1.477,0.2605)arc(170:100:1.5)node [midway, above]{$\Omega_1$};
 \draw[-stealth](4.13,0.7386)arc(80:50:0.75)node [midway, above]{$\Omega_2$};
 \end{tikzpicture}
\caption{Analogie mécanique du transformateur~: transmission de puissance d'une poulie à une autre par l'intermédiaire d'une courroie.  \label{fig:analogie_transformateur}}
\end{figure}

Un système comportant deux roues dentées reliées par une chaîne fonctionne de la même manière (par exemple sur un vélo~: plateau entraîné par les pédales, chaîne et pignons arrières). Le rapport des rayons des deux poulies est remplacé par le rapport du nombre de dents de chacune des roues dentées.

Un cours complet sur le transformateur se trouve \href{http://mach.elec.free.fr/transfo.htm}{ici}.