\chapter{Excitation \& champ magnétique}





\section{Excitation magnétique}

L'excitation magnétique se note $\vv{H}$, en \unit{\ampere\per\metre}.

Un aimant ou un fil électrique parcouru par une intensité $I$ créé un champ \footnote{En physique, un champ est la donnée, pour chaque point de l'espace, de la valeur d'une grandeur physique. Cette grandeur physique peut être scalaire (température, pression\dots), vectorielle (vitesse des particules d'un fluide, force gravitationnelle, électrique ou magnétique, \dots) ou tensorielle (comme le tenseur de Ricci en relativité générale en chaque point de l'espace-temps). } d'excitation magnétique $\vv{H}$.

L'excitation magnétique ne dépend que de l'aimant qui la crée ou bien si c'est un courant électrique qui créé $\vv{H}$, alors $H$ ne dépend que de la forme du fil électrique, de l'intensité qui parcourt celui-ci et de la distance du point où apparaît $\vv{H}$ par rapport au fil.

$\vv{H}$ ne dépend pas du matériau dans lequel on se trouve.

\section{Champ magnétique}

Le champ magnétique se note $\vv{B}$, en \unit{\tesla} (Tesla).

Selon la matière dans laquelle apparaît l'excitation magnétique, un champ magnétique \footnote{Dans certains livres on parle d'\og induction magnétique \fg{} en lieu et place du champ magnétique} est créé selon la formule~:

\[
\boxed{\vv{B} = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \vv{H}}
\]

où $\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}$SI est la perméabilité magnétique du vide ou de l'air et $\mu_r$ la perméabilité magnétique relative du matériau par rapport à l'air (ou au vide).

L'excitation magnétique $\vv{H}$ et le champ magnétique $\vv{B}$ sont des \textit{grandeurs vectorielles}.


$\vv{B}$ dépend du matériau dans lequel apparaît $\vv{H}$ qui créé $\vv{B}$. Cette influence du matériau sur une grandeur se retrouve dans d'autres domaines de la physique. En électrocinétique par exemple, si on constitue plusieurs fils conducteurs, tous d'une même longueur $L$ et tous d'une même section $S$, aux extrémités desquels on applique la même d.d.p. $U$ (grandeur analogue à $H$), l'intensité qui les parcourra (grandeur analogue à $B$) sera différente selon la résistivité du métal employé ($I = \frac{U}{R}$ avec $R = \rho \cdot \frac{L}{S}$).

En mécanique, considérons un petit ressort à spires non jointives (ressort de stylo à bille à pointe rétractable par exemple). \'Ecrasons le ressort de telle sorte que les spires se touchent. Si nous laissons se détendre le ressort brusquement dans l'air, il va sauter à l'autre bout de la pièce. Si nous effectuons la même expérience en plongeant la main dans un récipient empli de liquide très visqueux (miel, huile froide), la détente (analogue à $B$) sera beaucoup plus lente et le ressort restera sur place entre nos doigts après s'être détendu. C'est pourtant la même force (analogue à $H$) due à la constante de raideur du ressort dans les deux cas, mais le matériau dans lequel on opère, air ou liquide visqueux, fait que le résultat est très différent.

\vspace{0.3cm}

En électrotechnique, on a affaire à seulement deux matériaux~:

\begin{itemize}
\item l'air, dont la perméabilité magnétique est celle du vide ($\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}$SI)~;
\item le fer \footnote{Par \og fer \fg, on entend en électromagnétisme toutes les catégories de fer~: le fer doux, les aciers au carbone, au silicium, les aciers spéciaux (inoxydables, au tungstène), etc.} dont la perméabilité magnétique relative est comprise dans l'intervalle~: $\num{1000} \leqslant \mu_r \leqslant \num{10000}$, selon la qualité du fer employé.
\end{itemize}

\section{Ligne de champ}

Les lignes de champ magnétique sont des lignes imaginaires qui décrivent la direction et la force du champ magnétique $\vv{B}$ en chaque point de l'espace. Plus précisément, les lignes de champ magnétique sont des courbes telles que la tangente en chaque point donne la direction du champ magnétique $\vv{B}$. La densité de lignes de champ dans une région donnée donne une indication de la force du champ magnétique dans cette région.


Comme le montre la figure \vref{fig:ligne_champ1}, les lignes de champ magnétique sont utilisées pour visualiser le champ magnétique et aider à comprendre son comportement dans différents contextes.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=1.2]{images/magnetic_field.jpg}
\caption{Lignes de champ magnétique autour d'un aimant (a) et autour d'un solénoïde parcouru par un courant $I$ (b). \label{fig:ligne_champ1}}
\end{figure}

Bien qu'imaginaires, les lignes de champ magnétique peuvent être visualisées au moyen de la limaille de fer. Les fines particules de limaille de fer se magnétisent en présence d'un champ magnétique et se comportent comme autant de minuscules aimants qui s'orientent dans le champ.

On désigne par \og spectre magnétique \fg{} l'ensemble des lignes de champ d'un champ magnétique telles que matérialisées par de la limaille de fer ou tout autre moyen.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{images/spectre1.png}
\caption{Spectre d'un  champ magnétique autour d'un aimant obtenu grâce à de la limaille de fer. \label{fig:ligne_champ1}}
\end{figure}

\href{http://mach.elec.free.fr/video/champ_magnetique_aimant_permanent.mp4}{Cette vidéo de 5 minutes} montre comment on visualise les lignes de champ magnétique à l'aide de plaques comportant de nombreuses petites boussoles, il est aussi question du champ magnétique terrestre.

\href{http://mach.elec.free.fr/video/spectre_B_limaille_de_fer.mp4}{Cette vidéo} montre comment obtenir des lignes de champ à l'aide de la limaille de fer.

\href{http://mach.elec.free.fr/video/lignes_champ_3D.mp4}{Cette autre vidéo} montre comment procéder pour visualiser un spectre en trois dimensions. Le liquide employé doit être un peu visqueux (glycérine) afin que la limaille de fer dispersée demeure en suspension.

\href{http://mach.elec.free.fr/video/visualisation_spectre_boussoles.mp4}{Cette autre vidéo} montre la visualisation du spectre d'aimants droits et d'un aimant en U grâce à des plaques comportant de nombreuses petites boussoles qui se comportent comme des particules de limaille de fer.



\begin{comment}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{images/champ_limaille_fer.jpg}
\caption{Spectre d'un  champ magnétique autour d'un aimant obtenu grâce à de la limaille de fer. \label{fig:ligne_champ1}}
\end{figure}
\end{comment}


\section{Théorème d'Ampère}

Le théoréme d'Ampère a pour expression~:

\[
\oint_{C} \vv{H} \cdot \mathrm{d} \vv{\ell} = \sum_{j=1}^{n} \pm I_j
\]

où $C$  est le contour d'Ampère, courbe fermée sur laquelle on réalise l'intégration des produits scalaires $\vv{H} \cdot \mathrm{d} \vv{\ell}$ infiniment petits.

En électrotechnique, l'application du théorème d'Ampère est simple, car on considère comme contour d'Ampère une courbe fermée où $\vv{H}$ reste constant et constamment tangent à la courbe. Ainsi les produits scalaires deviennent~:

\[
\vv{H} \cdot \mathrm{d} \vv{\ell} = H \cdot \mathrm{d} \ell \cdot \cos ( \widehat{\vv{H}, \mathrm{d} \vv{\ell}}) = H \cdot \mathrm{d} \ell \cdot cos(\qty{0}{\degree}) = H \cdot \mathrm{d} \ell
\]

Cela conduit à~:

\[
\oint_{C} \vv{H} \cdot \mathrm{d} \vv{\ell} = \sum_{j=1}^{n} \pm I_j \Longleftrightarrow H \cdot L = \sum I_{\text{enlacés}}  \Rightarrow H = \dfrac{\sum I_{\text{enlacés}}}{L}
\]

où $L$ est la longueur du contour d'Ampère exprimé en \unit{\metre}.

On retiendra qu'en général~:

\[
\boxed{H = \dfrac{n \cdot I}{L}}
\]
où $n$ est le nombre de spires du circuit ou encore la densité linéique de spire \footnote{le nombre de spires par mètre de longueur si tant est que celles-ci soient enroulées régulièrement}



Cette expression de l'excitation magnétique permet de déterminer simplement sa valeur dans les cas courants suivants~:

\begin{itemize}
\item un fil électrique rectiligne~: $H = \dfrac{I}{2 \pi a}$, avec $I$ intensité du courant dans le fil, et $a$ distance du point où on cherche $H$ par rapport au fil~;
\item un enroulement torique~: $H = \dfrac{n I}{2 \pi R}$, avec $I$ intensité du courant dans le fil, $n$ nombre total de spires enroulées autour du tore et $R$ rayon du cercle à l'intérieur du tore en un point duquel on cherche $H$~;
\item un solénoïde cylindrique rectiligne~: $H = n \cdot I$, avec $I$ intensité du courant dans le fil, et ici $n$~: nombre de spires par mètre de solénoïde~;
\item un circuit magnétique de transformateur ou de machine électrique~:
\[
H = \dfrac{N_1 \cdot I_1 - N_2 \cdot I_2}{\ell}
\]

avec $I_1$, intensité dans l'enroulement primaire du transformateur, $I_2$ intensité dans l'enroulement secondaire du transformateur, $N_1$ nombre de spires de l'enroulement primaire et $N_2$ nombre de spires de l'enroulement secondaire.
\end{itemize}


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\includepdf[pages=1-6,scale=0.9,pagecommand={\thispagestyle{plain}}]{theoreme_Ampere.pdf}
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