\chapter{Oscillateurs quasi sinusoïdaux}

Deux méthodes permettent d'obtenir des oscillations quasi sinusoïdales :
\begin{itemize}
\item l'association en \textit{boucle} d'un amplificateur et d'un circuit sélectif (un filtre);
\item l'association d'un dipôle dont la caractéristique présente une portion à \textit{résistance négative} dans un circuit résonnant.
\end{itemize}


\subsection{Oscillateur bouclé}

L'association d'un amplificateur et d'un filtre forme un système bouclé qui peut être représenté, en régime linéaire et harmonique, par une chaîne directe et par une chaîne de retour comme le montre la figure \ref{fig:systeme-boucle1}. Le rôle des chaînes directe et de retour peut être permuté. On a cependant l'habitude d'associer la chaîne directe à l'amplificateur.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbComp{comp}{E}
\sbRelier[$\underline{E}$]{E}{comp}
\sbBloc{reg}{$\underline{A}$}{comp}
\sbRelier[$\underline{\epsilon}$]{comp}{reg}
\sbSortie{S}{reg}
\sbRelier[$\underline{S}$]{reg}{S}
\sbDecaleNoeudy[4]{S}{U}
\sbBlocr{cap}{$\underline{B}$}{U}
\sbRelieryx{reg-S}{cap}
\sbRelierxy[$\underline{R}$]{cap}{comp}
\end{tikzpicture}
\caption{Schéma bloc d'un oscillateur quasi sinusoïdal, rebouclage soustractif.}
\label{fig:systeme-boucle1}
\end{figure}




Déterminons la valeur de $\underline{S}$ en fonction de $\underline{E}$ et des deux fonctions de transfert $\underline{A}$ et $\underline{B}$ dans le schéma de la figure \ref{fig:systeme-boucle1} :

\[
\underline{S} = \underline{A} \cdot \underline{\epsilon}
\]

\[
\underline{\epsilon} = \underline{E} - \underline{B} \cdot \underline{S}
\]


d'où :
\[
\underline{S} = \underline{A} \cdot \underline{E} - \underline{A} \cdot \underline{B} \cdot \underline{S} \Rightarrow \underline{S} = \frac{\underline{A}}{1+ \underline{A} \cdot \underline{B}} \cdot \underline{E}
\]

Si $\underline{A} \cdot \underline{B} = -1$ alors $\frac{\underline{A}}{1+ \underline{A} \cdot \underline{B}} \rightarrow \infty$ dès lors, $S$ existe même si $E \rightarrow 0$.

$E = 0$, $S \neq 0$, les montages sont des oscillateurs.

\bsc{Remarque :} Il faut faire attention, l'énergie nécessaire à la création d'oscillations ne provient pas du vide. On ne sait pas encore extraire de l'énergie du vide (le saurons-nous jamais ?), les \og extracteurs de point zéro (EDPZ) \fg{}  chers à la série \og Star Gate \fg{} ne sont, hélas, que des chimères de science-fiction. L'énergie du signal de sortie provient tout simplement des sources de tension continue alimentant l'étage amplificateur.

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = -1 \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{ll}
        |\underline{A} \cdot \underline{B}| = 1 \\
        arg(\underline{A} \cdot \underline{B}) = \pi
    \end{array}
\right.
\]

Cela donne :

\begin{itemize}
\item une condition de pulsation $arg(\underline{A} \cdot \underline{B}) = \pi$;
\item une condition d'entretien des oscillations $ |\underline{A} \cdot \underline{B}| = 1$.
\end{itemize}

Ces deux conditions sont connues sous le nom de \og critères de Barkhausen \footnote{Heinrich Georg \bsc{Barkhausen} : ingénieur allemand, né à Brême en 1881 et mort à Dresde en 1956. Après des études d'ingénieur, il est nommé en 1911 professeur de physique à l'université de Dresde. Il est connu en électronique pour avoir produit, avec son collègue K. Kurz, des micro-ondes en faisant osciller le courant dans une triode à vide. En physique, il a étudié et mis en évidence, par voie acoustique, le processus d'aimantation des corps ferromagnétiques.} \fg.

Si le rebouclage se fait en additionnant le signal de retour comme le montre la figure \ref{fig:systeme-boucle2}, un calcul analogue donnera comme condition d'oscillation :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = +1
\]


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbSumb{comp}{E}
\sbRelier[$\underline{E}$]{E}{comp}
\sbBloc{reg}{$\underline{A}$}{comp}
\sbRelier[$\underline{\epsilon}$]{comp}{reg}
\sbSortie{S}{reg}
\sbRelier[$\underline{S}$]{reg}{S}
\sbDecaleNoeudy[4]{S}{U}
\sbBlocr{cap}{$\underline{B}$}{U}
\sbRelieryx{reg-S}{cap}
\sbRelierxy[$\underline{R}$]{cap}{comp}
\end{tikzpicture}
\caption{Schéma bloc d'un oscillateur quasi sinusoïdal, rebouclage additif.}
\label{fig:systeme-boucle2}
\end{figure}


\subsection{Oscillateur à pont de Wien}

Cet oscillateur est représenté à la figure \ref{fig:pont-wien1} dans laquelle on reconnaît un AO monté en amplificateur non inverseur dans la chaîne directe. La chaine de retour est constituée par un filtre de Wien \footnote{Max \bsc{Wien} : physicien allemand, né en 1866 à K\"onisberg et mort à Iena en 1938. Nommé professeur à l'\'Ecole Technique de Dantzig en 1904, puis à l'Université d'Iena en 1911. Il travaille sur les oscillateurs électriques et sur la télégraphie sans fil; son nom est associé à l'oscillateur bien connu et au filtre de particules utilisé en optique corpusculaire. Il ne faut pas le confondre avec Wilhem Wien, connu lui pour avoir donné son nom à une loi sur le rayonnement du corps noir}.


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (-0.7,-2.7)[dashed]rectangle(3,4.2);
\draw (3.2,-2.7)[dashed]rectangle(10.2,4.2);
\draw
(1,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(3,2)
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(4.7,2)to[C=$C$](7,2)
(7,2)to[R=$R$,*-](7,-2)
(7,-2)node[ground]{}
(9,2)to[C=$C$,*-](9,-2)
(9,-2)node[ground]{}
(6,2)--(10,2)
(opamp.-)--(-0.2,4)
(-0.2,4)--(10,4)--(10,2)
(2.7,2)to[short,*-](2.7,0)
(2.7,0)to[R=$R_2$,-*](-0.2,0)
(-0.2,0)to[R=$R_1$](-0.2,-2)
(-0.2,0)--(opamp.+)
(-0.2,-2)node[ground]{}
(1.15,-2.8)node[anchor=north]{chaîne directe}
(1.15,-3.1)node[anchor=north]{amplificateur}
(6.7,-2.8)node[anchor=north]{chaîne de retour}
(6.7,-3.1)node[anchor=north]{filtre à pont de Wien}
;\end{circuitikz}
\caption{Oscillateur à pont de Wien.}
\label{fig:pont-wien1}
\end{figure}

\subsubsection{Fonction de transfert du filtre de Wien}

Le filtre de Wien est un filtre passe-bande d'ordre deux constitué de deux résistors et de deux condensateurs identiques, disposés comme le montre la figure \ref{fig:pont-wien2}

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(4.7,2)to[C=$C$](7,2)
(7,2)to[R=$R$,*-](7,-2)
(7,-2)node[ground]{}
(9,2)to[C=$C$,*-](9,-2)
(9,-2)node[ground]{}
(6,2)--(10,2)
(3,-2)node[ground]{}
(3,2)to[open,v=$u_e$](3,-2)
(10,2)to[open,v^=$u_s$](10,-2)
;\end{circuitikz}
\caption{Filtre à pont de Wien.}
\label{fig:pont-wien2}
\end{figure}

\'Etablissons l'expression de la fonction de transfert du filtre de Wien, en le considérant comme un diviseur de tension :

\[
H(j \omega) = \frac{\underline{u_s}}{\underline{u_e}} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{1}{1+Z_1/Z_2}
\]

avec : $Z_1 = R + \frac{1}{jC \omega} = \frac{1 + j RC \omega}{jC \omega}$ et $Z_2 = \frac{R/(jC \omega)}{R + 1/(jC \omega)} = \frac{R}{1 + jRC \omega}$

Il vient, en effectuant :

\[
\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{1 + jRC \omega}{jC \omega} \times \frac{1 + jRC \omega}{R} = \frac{1 - R^2 C^2 \omega^2 + j 2 RC \omega}{jRC \omega} = 2 + j \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \; \text{où} \; \omega_0 = \frac{1}{RC}
\]

On en déduit :

\[
H(j \omega) = \frac{1}{3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega)} = \underline{B}
\]

En introduisant la fréquence réduite $x = \omega/ \omega_0 = f/f_0$, on obtient :

\[
\underline{H}(x) = \frac{1}{3+j(x-1/x)}
\]

ou :

\[
\underline{H}(x) = \frac{1/3}{1+ (1/3) ( jx + (jx)^{-1})}
\]

Ainsi :

\[
|\underline{H}(x)| = \frac{1}{[9 + (x - 1/x)^2 ]^{\frac{1}{2}}} \quad \text{et} \quad \varphi = - arctan \left( \frac{x - 1/x}{3} \right)
\]

\subsubsection{Fonction de transfert de l'amplificateur}


L'amplificateur à amplificateur opérationnel (voir annexe \ref{chap:AO}, page \pageref{chap:AO}) de la figure \ref{fig:amplificateur-AO} est rebouclé sur la borne d'entrée $-$, par conséquent, le fonctionnement de l'AO est linéaire et $v_e = v_+ = v_-=v_{R_1}$.


La d.d.p. aux bornes de $R_2$ est donc : $v_s - v_- = v_s - v_e = R_2 \cdot i_2$


Or, $i_2 = i_1 =\frac{v_e}{R_1}$, car il n'y a pas de courant fourni ou absorbé par les entrées d'un AO, donc :

\[
v_s - v_e = R_2 \cdot \frac{v_e}{R_1} \Rightarrow \frac{v_s}{v_e} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} =\underline{A}
\]


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(1,2)node[op amp,yscale=-1](opamp){}
(opamp.out)--(3,2)
(3,2)to[short](4,2)
(opamp.+)--(-2,2.5)
(2.7,2)to[short,*-](2.7,0)
(2.7,0)to[R=$R_2$,i=$i_2$,-*](-0.2,0)
(-0.2,0)to[R=$R_1$,i=$i_1$](-0.2,-2)
(-0.2,0)--(opamp.-)
(-0.2,-2)node[ground]{}
(-0.2,-2)node[circ]{}
(-2,-2)--(4,-2)
(-2,3)to[open,v=$v_e$](-2,-2.5)
(4,2.5)to[open,v^=$v_s$](4,-2.5)
;\end{circuitikz}
\caption{Amplificateur à AO.}
\label{fig:amplificateur-AO}
\end{figure}

\subsubsection{Critère de Barkhausen appliqué à l'oscillateur à pont de Wien}

Le rebouclage s'effectue sur la borne $+$ de l'AO, ainsi le critère de Barkhausen sera :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = +1 \Rightarrow \frac{R_1 + R_2}{R_1} \times \frac{1}{3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega)} = +1
\]

ou :

\[
3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega) = \frac{R_1 + R_2}{R_1}
\]

Le membre de droite est un nombre réel pur, par conséquent, la partie imaginaire du membre de gauche doit être nulle. Nous devrons donc avoir :

\[
\frac{R_1 + R_2}{R_1} = 3 \quad \text{et} \quad \omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega = 0
\]

soit encore :

\[
R_1 = 2 R_2 \quad \text{et} \quad \omega = \omega_0 = \frac{1}{RC}
\]

La réalisation expérimentale précise de ce critère n'est guère possible. Deux cas de figure se présentent :

\begin{itemize}
\item Si la condition est réalisée par défaut, c'est à dire si $\underline{A} \cdot \underline{B} < +1$, les oscillations éventuelles s'amortissent exponentiellement. On n'observe plus que des oscillations aléatoires de très faible amplitude, appelées \textit{bruit}. L'énergie apportée par l'amplificateur est insuffisante pour compenser les pertes dissipatives.
\item Si la condition est réalisée par excès, c'est à dire si $\underline{A} \cdot \underline{B} > +1$, les oscillations s'amplifient exponentiellement au cours du temps. On finit alors par sortir du domaine de fonctionnement linéaire du circuit, ce qui a pour effet de limiter l'amplitude des oscillations.
\end{itemize}

Aussi, pour obtenir des oscillations quasi sinusoïdales, faut-il se placer dans le voisinage supérieur du critère de Barkhausen :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} \approx +1 \quad \text{et} \quad \underline{A} \cdot \underline{B} > +1
\]

Le critère de Barkhausen est quelquefois appelé \textit{condition d'accrochage} de l'oscillateur. En automatique, afin de régler un régulateur PID, la méthode de Ziegler et Nichols préconise de déterminer le gain du \textit{pompage limite}. Il s'agit, ni plus ni moins, de déterminer expérimentalement le gain exact permettant au système considéré de commencer à osciller sinusoïdalement. Si l'on souhaite obtenir une bonne précision, le gain doit correspondre exactement au critère de Barkhausen et les oscillations sinusoïdales ne doivent pas commencer à se déformer. Le réglage est délicat\ldots


