\chapter{Fonctionnement non linéaire}

\bsc{Avertissement} : Nous considérons que tous les amplificateurs opérationnels des montages de ce chapitre sont idéaux.


\section{Multivibrateur astable}

Le montage de la figure \vref{fig:astable} représente un multivibrateur astable.

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw
(0,-4)to[C,l=$C$](0,3)--(0,5)--(2,5)to[R, l=$R$](5.5,5)

(4,2) node[op amp](opamp){}
(opamp.down)--++(0,-1)node[below]{$- V_{\text{alim}}$}
(opamp.up)--++(0,1)node[above]{$+ V_{\text{alim}}$}


(opamp.-)--(0,2.5)node[circ]{}
(opamp.+)-|(1.5,-1)
(1.5,-4)to[R,l=$R_1$,*-](1.5,-1)
(1.5,-0.75)node[circ]{}
(1.5,-0.75)to[R,l_=$R_2$](5.5,-0.75)
(5.5,-0.75)--(5.5,5)
(opamp.out)--(5.5,2)node[circ]{}
(5.5,2)--(6.5,2)
(0,-4)--(6.5,-4)
(3.25,-4)node[eground]{}
(3.25,-4)node[circ]{}
(6.5,3)to[open,v^=$v_s$](6.5,-5)
;
\end{circuitikz}
\end{center}
\caption{Multivibrateur astable.}
\label{fig:astable}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}



\begin{enumerate}
\item Calculer les tensions $v_s$ et $e_+$ lorsque $e_- < e_+$.
\item Comment évolue la tension $e_-$ dans ces conditions ?
\item Que se passe-t-il lorsque $e_- > e_+$ . Calculer alors la valeur des tensions $v_s$ et $e_+$ ? Comment évolue $e_-$ ?
\item Représenter l'évolution des tensions $v_s$ et $e_-$ en fonction du temps.
\item Calculer la période de la tension de sortie $v_s$ en fonction de $R_1$, $R_2$, $R$ et $C$.
\item Effectuer l'application numérique pour $R_1 = \SI{15}{\kilo\ohm}$, $R_2 = \SI{100}{\kilo\ohm}$, $R = \SI{120}{\kilo\ohm}$ et $C = \SI{0,1}{\micro\farad}$.
\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}

\bsc{Réponse :}



\begin{enumerate}
\item $v_s = A \cdot(e_+ - e_-)$ ici, on suppose que $e_+ > e_-$, donc  $v_s = + V_{\text{alim}}$ et $e_+ = + V_{\text{alim}} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

\item $e_-$ croît exponentiellement car $C$ est chargé à tension contante, $+ V_{\text{alim}}$, à travers la résistance $R$.

\item Si $e_- > e_+$, alors $v_s = - V_{\text{alim}}$, $e_+ = - V_{\text{alim}} \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2}$, $e_-$ décroît car $C$ se décharge à travers $R$.

\item Posons : $k = \frac{R_1}{R_1 + R_2}$. Supposons qu'à l'instant initial, $e_- = 0$ (condensateur déchargé) et $v_s = + V_{\text{alim}}$. Le condensateur $C$ se charge alors à travers $R$ et sa tension tend vers $+ V_{\text{alim}}$. En fait, dès que : $e_- = + k \cdot V_{\text{alim}} + \epsilon (\epsilon > 0)$, la tension différentielle d'entrée devient négative et la tension de sortie bascule de $+  V_{\text{alim}}$ à $- V_{\text{alim}}$. Le condensateur se décharge maintenant à travers $R$ et le potentiel de l'entrée - de l'AO tend vers $- V_{\text{alim}}$.

Mais dès que : $e_- = - k \cdot V_{\text{alim}} - \epsilon (\epsilon > 0)$, la tension différentielle change de signe et la tension de sortie bascule à nouveau de $- V_{\text{alim}}$ à $+ V_{\text{alim}}$. On observe alors une nouvelle charge du condensateur à travers $R$ et le cycle recommence.

Les courbes des tensions $e_-$ et $v_s$ sont représentées à sur la figure \vref{fig:courbe-astable}


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{figures/courbe-astable.jpg}
\caption{Courbes de tension pour le multivibrateur astable.}
\label{fig:courbe-astable}
\end{figure}

\item Supposons $v_s = + V_{\text{alim}}$ et initialement $e_- (t=0) = - \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V_{\text{alim}}$. La variation de $e_-$ en fonction du temps est de la forme : $e_- = A \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} + B$.

\`A $t=0$, $e_- = A + B = - \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V_{\text{alim}}$.

Quand $t \rightarrow \infty$, $e_- = B = + V_{\text{alim}}$.

D'où : $A = - \frac{2 R_1 + R_2}{R_1 + R_2} \cdot V_{\text{alim}}$.

On a donc : $e_- = V_{\text{alim}} - \left(  \frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2} \right) \cdot V_{\text{alim}} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}} $.

Quand $e_- = \frac{R_1}{R_1 + R_2} \cdot V_{\text{alim}}$, $t= \frac{T}{2} \Rightarrow \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 1 - \frac{2R_1 + R_2}{R_1 + R_2} \cdot  \mathrm{e}^{-\frac{T}{RC}}$, d'où :

\[
T = 2 RC \ln \frac{2R_1 + R_2}{R_2} = \SI{6,3}{\milli\second}
\]

\end{enumerate}



 \section{Multivibrateur astable à rapport cyclique variable}
 
 Le montage de la figure \vref{fig:astable-rapport-cyclique-variable} représente les modifications apportées au montage de la figure \vref{fig:astable} afin de rendre la tension de sortie dissymétrique et de pouvoir faire varier le rapport cyclique. On appelle rapport cyclique la durée d'un créneau de tension de sortie à l'état haut (positive) sur la durée de la période. Le rapport cyclique se note généralement $\alpha$.
 
 \`A l'aide du potentiomètre, on peut modifier la résistance permettant de charger et de décharger le condensateur. Les constantes de temps sont différentes ainsi que les durées pendant lesquelles la tension de sortie $v_s$ est à l'état haut ou à l'état bas.
 
 
 
 
 
 
 
\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw

(4,2) node[op amp](opamp){}
(opamp.down)--++(0,-1)node[below]{$- V_{\text{alim}}$}
(opamp.up)--++(0,1)node[above]{$+ V_{\text{alim}}$}


(opamp.-)--(0,2.5)node[circ]{}
(opamp.+)-|(1.5,-1)
(1.5,-4)to[R,l=$R_1$,*-](1.5,-1)
(1.5,-0.75)node[circ]{}
(1.5,-0.75)to[R,l_=$R_2$](5.5,-0.75)
(5.5,-0.75)--(5.5,5)
(opamp.out)--(5.5,2)node[circ]{}

(0,-4)--(6.5,-4)
(3.25,-4)node[eground]{}
(3.25,-4)node[circ]{}
(6.5,3)to[open,v^=$v_s$](6.5,-5)


(0,-4)to[C,l=$C$](0,3)--(0,5)
(1,5)to[empty diode,l=$D_1$](4.5,5)
(4.5,7)to[empty diode,l=$D_2$](1,7)
(0,5)to[short](0,6)to[short,-*](1,6)
(1,5)--(1,7)
(4.5,7)to[potentiometer,n=POT](4.5,5)
(POT.wiper)-|(5.5,2)
(5.3,6.5)node{$r$}
(5.3,5.5)node{$R-r$}
;
\end{circuitikz}
\end{center}
\caption{Multivibrateur astable à rapport cyclique variable.}
\label{fig:astable-rapport-cyclique-variable}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}








\section{Régulation de niveau tout ou rien}

On considère le schéma de la figure \vref{fig:regulation-niveau-tor} destiné à maintenir le niveau d'un liquide dans une caisse entre deux valeurs limites : \og niveau bas \fg{} et \og niveau haut \fg. Le capteur est constitué par un potentiomètre dont le curseur est entraîné par un flotteur qui suit les variations de niveau du liquide. Lorsque le niveau baisse, le curseur est entraîné vers le bas et la valeur de la tension de l'entrée \og - \fg{} de l'AO diminue pour se retrouver à \SI{0}{\volt} si la caisse venait à être complétement vide. Au contraire, lorsque le niveau monte, la tension $e_-$ augmente jusqu'à atteindre \SI{24}{\volt} si la caisse était pleine à ras-bord.

Lorsque le niveau baisse et atteint \og niveau bas \fg{}, une pompe est mise en route par l'intermédiaire du relais afin de remplir la caisse. Cette pompe reste en fonction jusqu'à ce que le liquide atteigne le \og niveau haut \fg. \`A cet instant, le montage réagit et arrête la pompe.


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw
(1,-1.5)to[zDo,l=$D_z$,,*-](1,2.5)to[R, l=$R_z$,*-*](1,6)
(5,2) node[op amp,yscale=-1](opamp){}
(opamp.down)--++(0,.5)node[above]{\SI{24}{\volt}}
(opamp.up)--++(0,-0.5)node[eground]{}
(opamp.+)to[R,l=$R_1$](1,2.5)
(opamp.+)node[circ]{}
(opamp.+)--(3.8,4.5)
(3.8,4.5)to[R,l=$R_2$](6.5,4.5)--(6.5,2)
(6.5,2)node[circ]{}
(9,2)node[npn](npn){}
(opamp.out)--(6.5,2)
(npn.collector)to[cute inductor,l_=$\text{relais}$](9,6)
(8,3)to[empty diode,l=$D$,-*](8,6)
(8,3)--(9,3)
(9,3)node[circ]{}
(9,6)--(1,6)
(-1,4)to[pR,l_=$\text{capteur}$,n=POT,-*](-1,-1.5)
(-1,4)to[short,-*](-1,6)
(opamp.-)-|(POT.wiper)
(-3,-1.5)to[V=$\SI{24}{\volt}$](-3,6)
(-3,6)--(1,6)
(-3,-1.5)--(1,-1.5)
(1,-1.5)-|(npn.emitter)
(6.5,2)to[R,l=$R$](8.5,2)
(8.5,2)--(npn.base)
(2.5,-1.5)node[eground]{}
(2.5,-1.5)node[circ]{}
;
\end{circuitikz}
\end{center}
\caption{Régulation de niveau tout ou rien.}
\label{fig:regulation-niveau-tor}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}




On donne pour la figure \vref{fig:regulation-niveau-tor} :
\begin{itemize}
\item $R_2 = R_3 = \SI{20}{\kilo\ohm}$;
\item tension de seuil de la diode Zener : $V_Z = \SI{6}{\volt}$; puissance maximum supportée par la diode Zener : $P_{\text{max}}=\SI{600}{\milli\watt}$.
\end{itemize}




\begin{enumerate}
\item Déterminer le mode de fonctionnement de l'AO (linéaire ou non-linéaire) en le justifiant.
\item Calculer la valeur de $e_-$ pour laquelle la pompe se met en marche et celle pour laquelle la pompe s'arrête.
\item Expliquez le fonctionnement du montage en précisant le rôle de chaque élément.
\item Expliquer en quoi le fonctionnement du montage serait modifié par la suppression du rebouclage par $R_2$.
\item Calculer la valeur minimale de $R_z$ compte tenu des caractéristiques de la diode Zener.
\item Indiquer le rôle de la diode $D$.
\item Dans la réalité, l'AO est un \og 741 \fg{} et n'est donc pas parfait. On ajoute une diode Zener, de seuil \SI{4}{\volt}, entre la résistance $R$ et la base du transistor. Justifiez cette modification en précisant le défaut de l'AO ainsi pris en compte.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\bsc{Réponse :}



\begin{enumerate}
\item Il n'y a qu'un rebouclage de la sortie de l'AO vers l'entrée +. Le fonctionnement de l'AO est donc non-linéaire, saturé. La tension de sortie ne pourra prendre que deux valeurs : \SI{0}{\volt} ou \SI{24}{\volt}.

\item Lorsque $e_+ > e_-$, la tension de sortie de l'AO devient égale à \SI{24}{\volt}. Le transistor NPN est saturé, le relais met la pompe de remplissage de la caisse en service. Lorsque $e_+ < e_-$, la tension de sortie de l'AO est au potentiel de la masse, le transistor est bloqué et la pompe est arrêtée.

$e_+$ dépend de $v_s$. Lorsque $v_s = \SI{24}{\volt}$, on peut calculer $e_+$ par Millman et on obtient :

\[
e_+ = \frac{\frac{V_Z}{R_2} + \frac{v_s}{R_3}}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} = \frac{\frac{6}{20\cdot 10^3} + \frac{24}{20\cdot 10^3}}{\frac{1}{20\cdot 10^3} + \frac{1}{20\cdot 10^3}} = \SI{15}{\volt}
\]

Lorsque $v_s = \SI{0}{\volt}$, $e_+$ est au potentiel :

\[
e_+ = \frac{\frac{V_Z}{R_2} + \frac{v_s}{R_3}}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} = \frac{\frac{6}{20\cdot 10^3} + \frac{0}{20\cdot 10^3}}{\frac{1}{20\cdot 10^3} + \frac{1}{20\cdot 10^3}} = \SI{3}{\volt}
\]

La pompe étant arrêtée ($v_s =\SI{0}{\volt}$), si le niveau dans la cuve descend suffisamment, on finira par obtenir : $e_- < e_+ = \SI{3}{\volt}$. \`A ce moment là, $e_+ > e_-$ et la tension de sortie de l'AO passe de \SI{0}{\volt} à \SI{24}{\volt}, ce qui entraîne le démarrage de la pompe. Simultanément, le potentiel de l'entrée + se modifie et devient égal à \SI{15}{\volt}. On a toujours $e_+ > e_-$.

Pour que la pompe s'arrête, la cuve doit se remplir suffisamment pour que $e_-$ devienne supérieur à \SI{15}{\volt}. Alors, on aura à nouveau $e_+ < e_-$ et la sortie de l'AO reviendra au potentiel de la masse entraînant l'arrêt de la pompe.

Donc : si $e_- < \SI{3}{\volt}$, la pompe démarre et si $e_- > \SI{15}{\volt}$ la pompe s'arrête.

\item On a donc une régulation \og tout ou rien \fg{} où le capteur est constitué du potentiomètre relié à l'entrée - de l'AO, le pré-actionneur est le transistor NPN et l'actionneur est la pompe. La diode Zener, les résistances et l'AO constitue le régulateur.

\item Si l'on supprime le rebouclage, l'AO agira comme un simple comparateur. Les deux valeurs possibles du potentiel de l'entrée + ne seront plus éloignées l'une de l'autre mais seront confondues, on aura en permanence $e_+ = \SI{6}{\volt}$. Ainsi, dès que le niveau baissera de telle sorte que $e_- < e_+ = \SI{6}{\volt}$, la pompe démarrera et elle s'arrêtera rapidement, dès que $e_- > e_+ = \SI{6}{\volt}$, dès que le niveau dans la caisse se sera élevé un tout petit peu.

On aura à faire à une régulation de niveau, ce qui n'est pas ce que l'on recherche dans le cadre de cet exercice. De plus, la pompe n'arrêtera pas de démarrer et de s'arrêter, ce qui va user prématurément le moteur. Le rebouclage est donc essentiel au bon fonctionnement de ce montage où l'on souhaite simplement que la caisse se remplisse lorsque le niveau devient trop bas et que la pompe s'arrête avant que la caisse ne déborde.


\item $R_Z$ limite l'intensité qui parcourt la diode Zener afin de limiter la puissance thermique dissipée ($P_Z = V_Z \times I_Z$) dans celle-ci. Une puissance maximum de \SI{600}{\milli\watt} correspond à une intensité de : $I_Z = \frac{P_Z}{V_Z} = \frac{0,6}{6} = \SI{100}{\milli\ampere}$. Pour limiter $I_Z$ à cette valeur, on doit avoir $R_Z > \frac{24 - 6}{0,1} = \SI{180}{\ohm}$.

\item La diode $D$ est une diode de \og roue libre \fg{} qui protège le transistor NPN de la surtension destructrice $L \cdot \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$, tension qui apparaît lorsque le transistor se bloque et que le courant tend à varier brutalement.

\item Un AO comme le \og 741 \fg{} est bon marché, mais il n'est pas \og idéal \fg, en fait il n'est pas \og rail to rail \fg. Cela signifie que lorsqu'il est saturé, sa tension de sortie reste en-deçà des tensions d'alimentation d'une valeur de \SI{2}{\volt} à \SI{3}{\volt}.

 Ainsi, si l'AO du montage est un 741, la tension de sortie ne pourra pas descendre en dessous de \SI{2}{\volt} à \SI{3}{\volt} et le transistor NPN ne pourra pas se bloquer.

Pour éviter d'avoir à remplacer le 741 par un AO plus performant mais plus cher, on peut placer une diode Zener entre la sortie de l'AO est la résistance $R$ située devant la base du NPN. Cela relève artificiellement le potentiel de la base d'une valeur $V_Z$, et il faudra désormais une tension de sortie $v_s$ supérieure à $V_Z + \SI{0,7}{\volt}$ pour faire passer un courant base-émetteur et saturer le transistor.

On choisit $V_Z$ pour satisfaire l'inégalité : $\SI{3}{\volt} < V_Z + \SI{0,7}{\volt}$, $\Rightarrow V_Z > \SI{2,3}{\volt}$. On peut prendre $V_Z = \SI{3}{\volt}$ ou $V_Z = \SI{4}{\volt}$ pour avoir une marge de sécurité.
\end{enumerate}
