\chapter{Fonctionnement linéaire}

\bsc{Avertissement} : Nous considérons que tous les amplificateurs opérationnels des montages de ce chapitre sont idéaux. Ces AO seront tous considérés comme alimentés de manière symétrique, soit $-V_{\text{alim}} = \SI{-15}{\volt}$ et $+V_{\text{alim}} = \SI{+15}{\volt}$.


\section{Suiveur}

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(1,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(4,2)
(opamp.+)--(-1.5,1.5)

(2.7,4)to[short](-0.2,4)

(-0.2,4)to[short](-0.2,2.5)
(2.7,4)to[short,-*](2.7,2)
(-1.5,1.5)to[open,v=$v_e$](-1.5,0)
(-1.5,0)--(4,0)
(4,2)to[open,v^=$v_s$](4,0)
(1.25,0)node[eground]{}
(1.25,0)node[circ]{}
;\end{circuitikz}
\caption{Montage suiveur.}
\label{fig:suiveur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}


Pour un AO idéal, nous avons :

\[
e_- = e_+ \Rightarrow v_s = e_+
\]


L'intérêt du montage réside dans sa très forte impédance d'entrée et sa très faible impédance de sortie.



\section{Amplificateur inverseur}


Le montage de la figure \vref{fig:amplificateur-inverseur} est un amplificateur inverseur au sens ou la tension de sortie $v_s$ est en opposition de phase avec la tension d'entrée $v_e$.

Déterminons le gain de l'amplificateur. Il faut remarquer que le rebouclage s'effectue sur la borne d'entrée -, ce qui assure que  $e_+ = e_-$. On a de plus :

\[
e_+ = 0 \Rightarrow e_- =0
\]

Donc :

\[
i_{R_1} = \frac{v_e - 0}{R_1} = \frac{v_e}{R_1}
\]

L'intensité échangée au niveau de l'entrée d'un AO idéal étant nulle, la loi des n\oe uds, appliquées au niveau de l'entrée -, permet de dire que l'intensité qui traverse la résistance $R_2$ est celle qui provient de $R_1$. La d.d.p. aux bornes de $R_2$ est :

\[
v_{R_2} = R_2 \times \frac{v_e}{R_1}
\]

Une loi des mailles partant de la masse, passant par la sortie de l'AO, la résistance $R_2$ et retournant à la masse (entrée -) donne :

\[
v_s = - \frac{R_2}{R_1} \times v_e
\]

Le gain de l'amplificateur est donc : $\frac{R_2}{R_1}$. Le signe - qui traduit l'opposition de phase de la tension de sortie par rapport à la tension d'entrée donne le qualificatif \og inverseur \fg{} à cet amplificateur.

Bien évidemment, si $R_2 < R_1$, on obtient un atténuateur, ce qui n'est généralement pas le but recherché.


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(4,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(6,2)
(opamp.+)--++(0,-1.5)node[eground]{}
(2.8,0)node[circ]{}
(opamp.-)--(2.8,4)to[R,l=$R_2$](5,4)-|(opamp.out)node[circ]{}
(1,2.5)to[R,l=$R_1$,-*](opamp.-)
(1,0)to[short](6,0)
(1,2.5)to[open,v=$v_e$](1,0)
(6,2)to[open,v^=$v_s$](6,0)
;
\end{circuitikz}
\caption{Amplificateur inverseur.}
\label{fig:amplificateur-inverseur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}





\section{Sommateur}

On considère le montage de la figure \vref{fig:sommateur}. Déterminer la tension de sortie $v_s$ en fonction des trois tensions d'entrée du montage $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz} [scale = 1]
\draw
(3,0) node[op amp](opamp) {}
(4,0) -- (4.5,0) node[right]{$v_s$}
(opamp.+)--++(0,-1.5)node[eground]{}
(opamp.-)|- (2,2) to[R=$R$] (4, 2) -| (opamp.out)node[circ]{}
(opamp.-)node[circ]{}
(-1.5,1.8)to[R=$R_1$](0.5,1.8)
(-1.5,0.5)to[R=$R_2$,-*](0.5,0.5)
(-1.5,-0.8)to[R=$R_3$](0.5,-0.8)
(0.5,1.8)--(0.5,-0.8)
(opamp.-)--(0.5,0.5)

(-1.5,1.8) node[left]{$v_1$}{}
(-1.5,0.5) node[left]{$v_2$}{}
(-1.5,-0.8) node[left]{$v_3$}{}
;
\end{circuitikz}
\caption{Sommateur.}
\label{fig:sommateur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}




Le rebouclage se faisant sur l'entrée -, on a : $e_+ = e_-$.

$e_+ = 0 \Rightarrow e_- =0$. On en déduit les intensités traversant chacune des résistances $R_1$, $R_2$ et $R_3$ :
\[
\begin{cases}
i_1 = \frac{v_1 - 0}{R_1}= \frac{v_1}{R_1} \\
i_2 = \frac{v_2 - 0}{R_2}= \frac{v_2}{R_2} \\
i_3 = \frac{v_3 - 0}{R_3}= \frac{v_3}{R_3}
\end{cases}
\]

Aucun courant n'étant échangé au niveau des entrées d'un AO, d'après la loi des n\oe uds, l'intensité qui parcoure la résistance $R$ est égale à la somme de ces intensités :

\[
i_R = i_1 + i_2 + i_3
\]

La d.d.p. aux bornes de $R$ est ainsi :

\[
v_R = R \times i_R = R \cdot \left( \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} \right)
\]

On obtient la tension de sortie, $v_s$, en écrivant une équation de maille. On part de la masse, on passe par la sortie, puis $R$ et on retourne au potentiel de la masse en arrivant sur l'entrée -. On obtient ainsi :

\[
v_s = - R \cdot \left( \frac{v_1}{R_1} + \frac{v_2}{R_2} + \frac{v_3}{R_3} \right)
\]

On obtient ainsi un additionneur pondéré dont les coefficients de pondération sont  : $\frac{R}{R_1}$, $\frac{R}{R_2}$ et $\frac{R}{R_3}$.

Dans l'hypothèse où toute les résistances sont égales ($R_1 = R_2 = R_3 = R$), on obtient :

\[
v_s = - \left( v_1 + v_2 + v_3 \right)
\]

La sortie est en opposition de phase (signe -) avec la somme des trois tensions d'entrée. On a bien un montage sommateur. Il est bien entendu possible d'additionner plus de trois tensions. Pouvez-vous concevoir un montage sommateur permettant d'additionner cinq tensions avec le même coefficient de pondération pris égal à un ?





\section{Dérivateur}

On peut facilement dériver une tension par rapport au temps à l'aide du montage de la figure \vref{fig:derivateur}.

En effet, le rebouclage s'effectuant sur l'entrée -, on a : $e_+ = e_-$ puis : $e_+ = 0 \Rightarrow e_- =0$.

L'intensité qui \og traverse \fg{} \footnote{En fait, le courant ne passe pas à travers l'isolant situé entre les deux armatures du condensateur, mais l'abus de langage est pratique. Il faut tout de même avoir conscience qu'il s'agit bel et bien d'un abus de langage.} le condensateur s'obtient à partir de la relation :

\[
q = C \cdot (v_e - e_-)
\]

où $q$ est la valeur absolue de la charge portée par une des deux armatures du condensateur.

En dérivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

\[
\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = i_c = C \cdot \frac{\mathrm{d}(v_e - e_-)}{\mathrm{d}t} = C \cdot \frac{\mathrm{d}v_e}{\mathrm{d}t}
\]

L'intensité échangée au niveau de l'entrée d'un AO idéal étant nulle, la loi des n\oe uds, appliquées au niveau de l'entrée -, permet de dire que l'intensité qui traverse la résistance $R$ est celle qui provient de $C$. La d.d.p. aux bornes de $R$ est :

\[
v_R = R \times C \cdot \frac{\mathrm{d}v_e}{\mathrm{d}t}
\]

Une loi des mailles partant de la masse, passant par la sortie de l'AO, la résistance $R_2$ et retournant à la masse (entrée -) donne :

\[
v_s = - RC \cdot \frac{\mathrm{d}v_e}{\mathrm{d}t}
\]

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(4,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(6,2)
(opamp.+)--++(0,-1.5)node[eground]{}
(2.8,0)node[circ]{}
(opamp.-)--(2.8,4)to[R,l=$R$](5,4)-|(opamp.out)node[circ]{}
(1,2.5)to[C,l=$C$,-*](opamp.-)
(1,0)to[short](6,0)
(1,2.5)to[open,v=$v_e$](1,0)
(6,2)to[open,v^=$v_s$](6,0)
;
\end{circuitikz}
\caption{Dérivateur.}
\label{fig:derivateur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

La tension de sortie est proportionnelle à la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée, même si elle est en opposition de phase avec elle. Quel montage faudrait-il ajouter, au niveau de la sortie, pour obtenir une tension de sortie en phase avec la tension d'entrée ?






\section{Intégrateur}

On peut facilement intégrer une tension par rapport au temps à l'aide du montage de la figure \vref{fig:integrateur}.

En effet, le rebouclage s'effectuant sur l'entrée -, on a : $e_+ = e_-$ puis : $e_+ = 0 \Rightarrow e_- =0$.

L'intensité qui traverse la résistance $R$ s'obtient à partir de la loi d'Ohm :

\[
i_R = \frac{v_e - 0}{R} = \frac{v_e}{R}
\]

L'intensité échangée au niveau de l'entrée d'un AO idéal étant nulle, la loi des n\oe uds, appliquées au niveau de l'entrée -, permet de dire que l'intensité qui traverse la résistance $C$ est celle qui provient de $R$. La d.d.p. aux bornes de $C$ est :


\[
e_- - v_s = \frac{q}{C}
\]

Or :
\[
q = \int i \; \mathrm{d}t \Rightarrow v_s = \frac{1}{RC} \int v_e \; \mathrm{d}t
\]


Une loi des mailles partant de la masse, passant par la sortie de l'AO, le condensateur $C$ et retournant à la masse (entrée -) donne :

\[
v_s = - \frac{1}{RC} \int v_e \; \mathrm{d}t
\]

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(4,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(6,2)
(opamp.+)--++(0,-1.5)node[eground]{}
(2.8,0)node[circ]{}
(opamp.-)--(2.8,4)to[C,l=$C$](5,4)-|(opamp.out)node[circ]{}
(1,2.5)to[R,l=$R$,-*](opamp.-)
(1,0)to[short](6,0)
(1,2.5)to[open,v=$v_e$](1,0)
(6,2)to[open,v^=$v_s$](6,0)
;
\end{circuitikz}
\caption{Intégrateur.}
\label{fig:integrateur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

La tension de sortie est bien proportionnelle à l'intégrale par rapport au temps de la tension d'entrée. Là aussi, le signe moins indique qu'il y a opposition de phase entre la tension de sortie et celle d'entrée.







\section{Soustracteur}

Le montage de la figure \vref{fig:soustracteur} est un montage qui permet de soustraire des tensions. Prouvons-le :

Le rebouclage s'effectuant sur l'entrée -, on a : $e_+ = e_-$. Mais ici, puisque $R_3$ et $R_4$ constitue un diviseur de tension pour $v_2$, on a :

\[
e_+ = \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot v_2
\]

L'intensité qui traverse la résistance $R_1$ s'obtient à partir de la loi d'Ohm :

\[
i_{R_1} = \frac{v_1 - e_+}{R} = \frac{v_1 - \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot v_2}{R_1} =  \frac{v_1}{R_1} - \frac{ R_4}{R_1 \cdot (R_3 + R_4)} \times v_2
\]

La tension de sortie s'obtient avec une équation de maille : on part de la masse, on passe par la sortie, par $R_2$, par les entrées - et + (qui sont au même potentiel) et on retourne à la masse par $R_4$. Cela donne :

\[
v_s + R_2 \times \left(  \frac{v_1}{R_1} - \frac{ R_4}{R_1 \cdot (R_3 + R_4)} \times v_2 \right) - \frac{R_4}{R_3 + R_4} \cdot v_2 = 0
\]

On en déduit :
\[
v_s = - \left( \frac{R_2}{R_1} \cdot v_1  - \left( \frac{R_2 \cdot R_4}{R_1 \cdot (R_3 + R_4)} + \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right) \cdot v_2 \right)
\]

Si toutes les résistances sont identiques, on obtient :

\[
v_s = v_2 -v_1
\]

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(4,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(6,2)

(2.8,-1)node[circ]{}
(opamp.-)--(2.8,4)to[R,l=$R_2$](5,4)-|(opamp.out)node[circ]{}
(1,2.5)to[R,l=$R_1$,-*](opamp.-)
(-1,2.5)--(1,2.5)
(-1,-1)to[short](6,-1)
(-1,2.5)to[open,v=$v_1$](-1,-1)
(1,1.5)to[open,v=$v_2$](1,-1)
(6,2)to[open,v^=$v_s$](6,-1)
(1,1.5)to[R,l=$R_3$,-*](opamp.+)

(opamp.+)to[R,l=$R_4$](2.8,-1)node[eground]{}
;
\end{circuitikz}
\caption{Soustracteur.}
\label{fig:soustracteur}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}











\section{Alimentation stabilisée}

On considère le montage de la figure \vref{fig:alim-stab} qui représente une alimentation stabilisée. Le but de cette alimentation est de permettre d'alimenter la charge avec une tension régulée à une valeur constante même si la tension de la source $E$ est sujette à des fluctuations.


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\begin{center}
\begin{circuitikz}
\draw
(1,-1.5)to[zDo,l=$D_z$,,*-](1,2.5)to[R, l=$R_1$,*-*](1,5)
(4,2) node[op amp,yscale=-1](opamp){}
(3.9,5)node[circ]{}
(opamp.down)to[short,-*](3.9,5)
(opamp.up)to[short,-*](3.9,-1.5)
(opamp.+)--(1,2.5)
(6,5.3)node{$T_1$}
(7,5)to[Tnpn,n=n1](5,5)
(-0.5,5)to[short](n1.C)
(opamp.out)-|(n1.B)
(n1.E)to[short](8,5)to[R,l=$R_2$](11,5)
(12,5)node[circ]{}
(9,2)to[Tnpn,n=n2,mirror](7,2)
(8,1.7)node{$T_2$}
(8,5)node[circ]{}
(n2.B)--(8,5)
(n2.C)to[short,-*]($(n2.C)+(-1.23,0)$)
(n2.E)-|(11,5)
(12,5)to[R,l=$R$,*-](12,2.5)to[short](12,0.5)to[R,l=$R_3$,*-*](12,-1.5)
(opamp.-)|-(12,0.5)
(-0.5,-1.5)to[short](14,-1.5)
(3.9,-1.5)node[eground]{}
(11,5)to[short](14,5)
(14,5)to[R,l=$R_{\text{charge}}$](14,-1.5)
(-0.5,-1.5)to[V=$E$](-0.5,5)
(13.3,-1)-- node[currarrow, sloped, pos=1]{}(13.3,4.5)
(13.3,2.25)node[left]{U}
;
\end{circuitikz}
\end{center}
\caption{Alimentation stabilisée}
\label{fig:alim-stab}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}



On considéra que l' A.O. est idéal. La diode Zener $D_z$ a pour tension de Zener $V_z = \SI{3,9}{\volt}$.
Le transistor $T_2$ est bloqué lorsque sa tension base-émetteur est inférieure à \SI{0,6}{\volt}.

Dans un premier temps, vous ne tiendrez pas compte de la présence du transistor $T_2$ ni de la résistance $R_2$.
\begin{enumerate}
\item Calculez la valeur de la résistance $R$ pour que la tension de sortie $U$ soit de \SI{10}{\volt}.
\item Expliquez le fonctionnement du montage dans le cas où une variation de la résistance de charge
$R_{\text{charge}}$ a tendance à faire diminuer la tension de sortie $U$.
\end{enumerate}

On prend désormais en compte le transistor $T_2$ et la résistance $R_2$.

\begin{enumerate}[resume]
\item Précisez le rôle du transistor $T_2$ et calculez la valeur maximale de l'intensité du courant que peut débiter l'alimentation en fonctionnement normal.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\bsc{Réponse :}


\begin{enumerate}
\item Le rebouclage s'effectuant sur l'entrée -, alors $e_+ = e_- \Rightarrow e_- = \SI{3,9}{\volt}$. Cela nous donne la d.d.p. aux bornes de la résistance $R_3$. Ce qui permet de calculer l'intensité qui passe dans cette résistance : $I_{R_3} = \frac{3,9}{3300} = \SI{1,8}{\milli\ampere}$. Comme il n'y a aucune intensité échangée au niveau de l'entrée d'un AO, cette intensité est celle qui traverse la résistance $R$.

Nous connaissons l'intensité qui traverse $R$, la d.d.p. à ses bornes $10- 3,9 = \SI{6,1}{\volt}$. On a donc :

\[
R = \frac{6,1}{1,8 \cdot 10^{-3}} = \SI{3,39}{\kilo\ohm}
\]

\item $U \searrow \Rightarrow e_- \searrow \Rightarrow (e_+ - e_-) \nearrow \Rightarrow V_{BE_{T_1}} \nearrow \Rightarrow U \nearrow$, une fluctuation de $U$ déclenche une réaction du montage qui contrarie cette fluctuation, il y a donc bien régulation de $U$.

\item Si la charge admet un courant trop important (cas d'un court-circuit en sortie de l'alimentation stabilisée par exemple), la d.d.p. aux bornes de $R_2$ augmente. Lorsque cette d.d.p. atteint \SI{0,7}{\volt}, le transistor $T_2$ se sature. Cela a pour effet de mettre le potentiel de l'émetteur de $T_1$ à environ \SI{0,7}{\volt} au-dessus de celui de sa base. Cela entraîne le blocage de $T_1$. Cela protège donc $T_1$ contre les surintensités.
\end{enumerate}






\section{Oscillateurs quasi sinusoïdaux}

Deux méthodes permettent d'obtenir des oscillations quasi sinusoïdales :
\begin{itemize}
\item l'association en \textit{boucle} d'un amplificateur et d'un circuit sélectif (un filtre);
\item l'association d'un dipôle dont la caractéristique présente une portion à \textit{résistance négative} dans un circuit résonnant.
\end{itemize}





\subsection{Oscillateur bouclé}

L'association d'un amplificateur et d'un filtre forme un système bouclé qui peut être représenté, en régime linéaire et harmonique, par une chaîne directe et par une chaîne de retour comme le montre la figure \ref{fig:systeme-boucle1}. Le rôle des chaînes directe et de retour peut être permuté. On a cependant l'habitude d'associer la chaîne directe à l'amplificateur.

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbComp{comp}{E}
\sbRelier[$\underline{E}$]{E}{comp}
\sbBloc{reg}{$\underline{A}$}{comp}
\sbRelier[$\underline{\epsilon}$]{comp}{reg}
\sbSortie{S}{reg}
\sbRelier[$\underline{S}$]{reg}{S}
\sbDecaleNoeudy[4]{S}{U}
\sbBlocr{cap}{$\underline{B}$}{U}
\sbRelieryx{reg-S}{cap}
\sbRelierxy[$\underline{R}$]{cap}{comp}
\end{tikzpicture}
\caption{Schéma bloc d'un oscillateur quasi sinusoïdal, rebouclage soustractif.}
\label{fig:systeme-boucle1}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}



Déterminons la valeur de $\underline{S}$ en fonction de $\underline{E}$ et des deux fonctions de transfert $\underline{A}$ et $\underline{B}$ dans le schéma de la figure \ref{fig:systeme-boucle1} :

\[
\underline{S} = \underline{A} \cdot \underline{\epsilon}
\]

\[
\underline{\epsilon} = \underline{E} - \underline{B} \cdot \underline{S}
\]


d'où :
\[
\underline{S} = \underline{A} \cdot \underline{E} - \underline{A} \cdot \underline{B} \cdot \underline{S} \Rightarrow \underline{S} = \frac{\underline{A}}{1+ \underline{A} \cdot \underline{B}} \cdot \underline{E}
\]

Si $\underline{A} \cdot \underline{B} = -1$ alors $\frac{\underline{A}}{1+ \underline{A} \cdot \underline{B}} \rightarrow \infty$ dès lors, $S$ existe même si $E \rightarrow 0$.

$E = 0$, $S \neq 0$, les montages sont des oscillateurs.

\bsc{Remarque :} Il faut faire attention, l'énergie nécessaire à la création d'oscillations ne provient pas du vide. On ne sait pas encore extraire de l'énergie du vide (le saurons-nous jamais ?), les \og extracteurs de point zéro (EDPZ) \fg{}  chers à la série \og Star Gate \fg{} ne sont, hélas, que des chimères de science-fiction. L'énergie du signal de sortie provient tout simplement des sources de tension continue alimentant l'étage amplificateur.

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = -1 \Rightarrow \left\{
    \begin{array}{ll}
        |\underline{A} \cdot \underline{B}| = 1 \\
        arg(\underline{A} \cdot \underline{B}) = \pi
    \end{array}
\right.
\]

Cela donne :

\begin{itemize}
\item une condition de pulsation $arg(\underline{A} \cdot \underline{B}) = \pi$;
\item une condition d'entretien des oscillations $ |\underline{A} \cdot \underline{B}| = 1$.
\end{itemize}

Ces deux conditions sont connues sous le nom de \og critères de Barkhausen \footnote{Heinrich Georg \bsc{Barkhausen} : ingénieur allemand, né à Brême en 1881 et mort à Dresde en 1956. Après des études d'ingénieur, il est nommé en 1911 professeur de physique à l'université de Dresde. Il est connu en électronique pour avoir produit, avec son collègue K. Kurz, des micro-ondes en faisant osciller le courant dans une triode à vide. En physique, il a étudié et mis en évidence, par voie acoustique, le processus d'aimantation des corps ferromagnétiques.} \fg.

Si le rebouclage se fait en additionnant le signal de retour comme le montre la figure \ref{fig:systeme-boucle2}, un calcul analogue donnera comme condition d'oscillation :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = +1
\]






\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{tikzpicture}
\sbEntree{E}
\sbSumb{comp}{E}
\sbRelier[$\underline{E}$]{E}{comp}
\sbBloc{reg}{$\underline{A}$}{comp}
\sbRelier[$\underline{\epsilon}$]{comp}{reg}
\sbSortie{S}{reg}
\sbRelier[$\underline{S}$]{reg}{S}
\sbDecaleNoeudy[4]{S}{U}
\sbBlocr{cap}{$\underline{B}$}{U}
\sbRelieryx{reg-S}{cap}
\sbRelierxy[$\underline{R}$]{cap}{comp}
\end{tikzpicture}
\caption{Schéma bloc d'un oscillateur quasi sinusoïdal, rebouclage additif.}
\label{fig:systeme-boucle2}
\end{figure}







\subsection{Oscillateur à pont de Wien}

Cet oscillateur est représenté à la figure \ref{fig:pont-wien1} dans laquelle on reconnaît un AO monté en amplificateur non inverseur dans la chaîne directe. La chaine de retour est constituée par un filtre de Wien \footnote{Max \bsc{Wien} : physicien allemand, né en 1866 à K\"onisberg et mort à Iena en 1938. Nommé professeur à l'\'Ecole Technique de Dantzig en 1904, puis à l'Université d'Iena en 1911. Il travaille sur les oscillateurs électriques et sur la télégraphie sans fil; son nom est associé à l'oscillateur bien connu et au filtre de particules utilisé en optique corpusculaire. Il ne faut pas le confondre avec Wilhem Wien, connu lui pour avoir donné son nom à une loi sur le rayonnement du corps noir}.


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw (-0.7,-2.7)[dashed]rectangle(3,4.2);
\draw (3.2,-2.7)[dashed]rectangle(10.2,4.2);
\draw
(1,2)node[op amp](opamp){}
(opamp.out)--(3,2)
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(4.7,2)to[C=$C$](7,2)
(7,2)to[R=$R$,*-](7,-2)
(7,-2)node[ground]{}
(9,2)to[C=$C$,*-](9,-2)
(9,-2)node[ground]{}
(6,2)--(10,2)
(opamp.-)--(-0.2,4)
(-0.2,4)--(10,4)--(10,2)
(2.7,2)to[short,*-](2.7,0)
(2.7,0)to[R=$R_2$,-*](-0.2,0)
(-0.2,0)to[R=$R_1$](-0.2,-2)
(-0.2,0)--(opamp.+)
(-0.2,-2)node[eground]{}
(1.15,-2.8)node[anchor=north]{chaîne directe}
(1.15,-3.1)node[anchor=north]{amplificateur}
(6.7,-2.8)node[anchor=north]{chaîne de retour}
(6.7,-3.1)node[anchor=north]{filtre à pont de Wien}
;\end{circuitikz}
\caption{Oscillateur à pont de Wien.}
\label{fig:pont-wien1}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}






\subsubsection{Fonction de transfert du filtre de Wien}

Le filtre de Wien est un filtre passe-bande d'ordre deux constitué de deux résistors et de deux condensateurs identiques, disposés comme le montre la figure \ref{fig:pont-wien2}

\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(4.7,2)to[C=$C$](7,2)
(7,2)to[R=$R$,*-](7,-2)
(7,-2)node[eground]{}
(9,2)to[C=$C$,*-](9,-2)
(9,-2)node[ground]{}
(6,2)--(10,2)
(3,-2)node[ground]{}
(3,2)to[open,v=$u_e$](3,-2)
(10,2)to[open,v^=$u_s$](10,-2)
;\end{circuitikz}
\caption{Filtre à pont de Wien.}
\label{fig:pont-wien2}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}

\'Etablissons l'expression de la fonction de transfert du filtre de Wien, en le considérant comme un diviseur de tension :

\[
H(j \omega) = \frac{\underline{u_s}}{\underline{u_e}} = \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} = \frac{1}{1+Z_1/Z_2}
\]

avec : $Z_1 = R + \frac{1}{jC \omega} = \frac{1 + j RC \omega}{jC \omega}$ et $Z_2 = \frac{R/(jC \omega)}{R + 1/(jC \omega)} = \frac{R}{1 + jRC \omega}$

Il vient, en effectuant :

\[
\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{1 + jRC \omega}{jC \omega} \times \frac{1 + jRC \omega}{R} = \frac{1 - R^2 C^2 \omega^2 + j 2 RC \omega}{jRC \omega} = 2 + j \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \; \text{où} \; \omega_0 = \frac{1}{RC}
\]

On en déduit :

\[
H(j \omega) = \frac{1}{3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega)} = \underline{B}
\]

En introduisant la fréquence réduite $x = \omega/ \omega_0 = f/f_0$, on obtient :

\[
\underline{H}(x) = \frac{1}{3+j(x-1/x)}
\]

ou :

\[
\underline{H}(x) = \frac{1/3}{1+ (1/3) ( jx + (jx)^{-1})}
\]

Ainsi :

\[
|\underline{H}(x)| = \frac{1}{[9 + (x - 1/x)^2 ]^{\frac{1}{2}}} \quad \text{et} \quad \varphi = - arctan \left( \frac{x - 1/x}{3} \right)
\]






\subsubsection{Fonction de transfert de l'amplificateur}


L'amplificateur à amplificateur opérationnel (voir annexe \ref{chap:AO}, page \pageref{chap:AO}) de la figure \ref{fig:amplificateur-AO} est rebouclé sur la borne d'entrée $-$, par conséquent, le fonctionnement de l'AO est linéaire et $v_e = +V_{\text{alim}} = -V_{\text{alim}}=v_{R_1}$.


La d.d.p. aux bornes de $R_2$ est donc : $v_s - -V_{\text{alim}} = v_s - v_e = R_2 \cdot i_2$


Or, $i_2 = i_1 =\frac{v_e}{R_1}$, car il n'y a pas de courant fourni ou absorbé par les entrées d'un AO, donc :

\[
v_s - v_e = R_2 \cdot \frac{v_e}{R_1} \Rightarrow \frac{v_s}{v_e} = \frac{R_1 + R_2}{R_1} =\underline{A}
\]


\shorthandoff{;:!?}
\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(1,2)node[op amp,yscale=-1](opamp){}
(opamp.out)--(3,2)
(3,2)to[short](4,2)
(opamp.+)--(-2,2.5)
(2.7,2)to[short,*-](2.7,0)
(2.7,0)to[R=$R_2$,i=$i_2$,-*](-0.2,0)
(-0.2,0)to[R=$R_1$,i=$i_1$](-0.2,-2)
(-0.2,0)--(opamp.-)
(-0.2,-2)node[eground]{}
(-0.2,-2)node[circ]{}
(-2,-2)--(4,-2)
(-2,3)to[open,v=$v_e$](-2,-2.5)
(4,2.5)to[open,v^=$v_s$](4,-2.5)
;\end{circuitikz}
\caption{Amplificateur à AO.}
\label{fig:amplificateur-AO}
\end{figure}
\shorthandon{;:!?}




\subsubsection{Critère de Barkhausen appliqué à l'oscillateur à pont de Wien}

Le rebouclage s'effectue sur la borne $+$ de l'AO, ainsi le critère de Barkhausen sera :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} = +1 \Rightarrow \frac{R_1 + R_2}{R_1} \times \frac{1}{3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega)} = +1
\]

ou :

\[
3+j(\omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega) = \frac{R_1 + R_2}{R_1}
\]

Le membre de droite est un nombre réel pur, par conséquent, la partie imaginaire du membre de gauche doit être nulle. Nous devrons donc avoir :

\[
\frac{R_1 + R_2}{R_1} = 3 \quad \text{et} \quad \omega/ \omega_0 - \omega_0/ \omega = 0
\]

soit encore :

\[
R_1 = 2 R_2 \quad \text{et} \quad \omega = \omega_0 = \frac{1}{RC}
\]

La réalisation expérimentale précise de ce critère n'est guère possible. Deux cas de figure se présentent :

\begin{itemize}
\item Si la condition est réalisée par défaut, c'est à dire si $\underline{A} \cdot \underline{B} < +1$, les oscillations éventuelles s'amortissent exponentiellement. On n'observe plus que des oscillations aléatoires de très faible amplitude, appelées \textit{bruit}. L'énergie apportée par l'amplificateur est insuffisante pour compenser les pertes dissipatives.
\item Si la condition est réalisée par excès, c'est à dire si $\underline{A} \cdot \underline{B} > +1$, les oscillations s'amplifient exponentiellement au cours du temps. On finit alors par sortir du domaine de fonctionnement linéaire du circuit, ce qui a pour effet de limiter l'amplitude des oscillations.
\end{itemize}

Aussi, pour obtenir des oscillations quasi sinusoïdales, faut-il se placer dans le voisinage supérieur du critère de Barkhausen :

\[
\underline{A} \cdot \underline{B} \approx +1 \quad \text{et} \quad \underline{A} \cdot \underline{B} > +1
\]

Le critère de Barkhausen est quelquefois appelé \textit{condition d'accrochage} de l'oscillateur. En automatique, afin de régler un régulateur PID, la méthode de Ziegler et Nichols préconise de déterminer le gain du \textit{pompage limite}. Il s'agit, ni plus ni moins, de déterminer expérimentalement le gain exact permettant au système considéré de commencer à osciller sinusoïdalement. Si l'on souhaite obtenir une bonne précision, le gain doit correspondre exactement au critère de Barkhausen et les oscillations sinusoïdales ne doivent pas commencer à se déformer. Le réglage est délicat\ldots



















