\chapter{essai}


\section{Amplificateurs opérationnels}
\subsection{Principe}
\indent\indent L'amplificateur opérationnel est un composant électronique fabriqué à partir de transistors. Il est très utile, comme son nom l'indique, pour l'amplification en tension.\\

Comme le transistor, il possède deux fonctionnements : l'un linéaire (bouclage en contre réaction) pour l'amplification et l'autre en saturé (pas de bouclage en contre-réaction)pour la comparaison.\\

\begin{center}\begin{circuitikz} 
\draw (-1.5,0.5) node[left]{$V^-$} -- (-1,0.5) ;
\draw (-1.5,-0.5) node[left]{$V^+$} -- (-1,-0.5) ;
\draw[thick, ->] (-1.25,0.5) node[below left]{$\varepsilon$} -- (-1.25,-0.5) ;
\draw (0,0) node[op amp] {} ;
\draw (1.5,0) node[right]{$V_S$} ;
\end{circuitikz}
%\quad
%\begin{circuitikz} 
%quadripole équivalent le jour où ça marchera
%\end{circuitikz}
\end{center}

Idéalement, la résistance d'entrée entre $V^+$ et $V^-$ est infinie. Ainsi, on a \fbox{$i^+=i^-=0$}. De même, on doit avoir une impédance de sortie nulle.

\subsection{Fonctionnement linéaire}
\indent\indent En fonctionnement linéaire, il y a bouclage entre $V_s$ et $V^-$ : c'est la \textbf{contre-réaction}. On observe de même que la tension $\varepsilon$ est nulle, c'est à dire que \fbox{$V^+=V^-$}.\\
On a ainsi une \textbf{relation affine entre les tensions de sortie et d'entrée}.\\

Une loi des mailles ou l'utilisation du théorème de Millman à l'entrée négative de l'amplificateur donne efficacement les relations entre les différentes tensions avec les relations précédentes.

\subsubsection{Exemples généraux}
\begin{minipage}[t]{6 cm}\begin{center}
\textbf{Montage suiveur}\\
\begin{circuitikz} [scale = 0.8]
\draw (-1,0.5) -- (-1.5,0.5) -- (-1.5,1.5) -- (1.5, 1.5) -- (1.5,0) ;
\draw (-1.5,-0.5) node[left]{$Ve$} -- (-1,-0.5) ;
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1,0) -- (2,0) node[right]{$V_S$} ;
\end{circuitikz}\\ \ \\
On se retrouve à $V_s=V_e$\end{center}

On utilise ce montage pour l'adaptation d'impédance : par exemple, les caractéristiques d'un bloc de filtrage peuvent être influencées par les éléments qui le suivent, le montage suiveur permet d'annuler cette influence.
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}[t]{6 cm}\begin{center}
\textbf{Montage inverseur}\\
\begin{circuitikz} [scale = 0.8]
\draw (-3,0.5) node[left]{$V_e$} to[R=$Z_1$] (-1.5,0.5) -- (-1,0.5);
\draw (-1.5,0.5) -- (-1.5,1.5) to[R=$Z_2$] (1, 1.5) -- (1,0) ;
\draw (-1,-0.5) -- (-1.5,-0.5) -- (-1.5,-1) node[ground]{};
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1,0) -- (1.5,0) node[right]{$V_S$} ;
\end{circuitikz}

On a $\cfrac{V_s}{V_e}=-\cfrac{Z_1}{Z_2}$.\end{center}

En utilisant des résistances, on peut moduler ce rapport de proportionnalité. En utilisant par exemple des condensateurs, on peut aisément créer des montages d'intégration ou de dérivation.
\end{minipage}
\quad
\begin{minipage}[t]{5 cm}\begin{center}
\textbf{Montage non-inverseur}\\
\begin{circuitikz} [scale = 0.8]
\draw (-3,0) node[ground]{} -- (-3,0.5) to[R=$Z_1$] (-1.5,0.5) -- (-1,0.5);
\draw (-1.5,0.5) -- (-1.5,1.5) to[R=$Z_2$] (1, 1.5) -- (1,0) ;
\draw (-1,-0.5) -- (-1.5,-0.5) node[left]{$V_e$} ;
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1,0) -- (1.5,0) node[right]{$V_S$} ;
\end{circuitikz}

On a $\cfrac{V_s}{V_e}=1+\cfrac{Z_1}{Z_2}$.\end{center}

Mêmes possibilités que pour l'inverseur.
\end{minipage}


\subsubsection{Autres exemples}
\begin{minipage}[t]{5 cm}\begin{center}
\textbf{Montage sommateur}\\
\begin{circuitikz} [scale = 0.8]
\draw (-3,0.5) node[left]{$V_{e1}$} to[R=$R_1$] (-1.5,0.5) -- (-1,0.5);
\draw (-3,1.5) node[left]{$V_{e2}$} to[R=$R_2$] (-1.5,1.5) -- (-1,1.5);
\draw (-3,2.5) node[left]{$V_{e3}$} to[R=$R_3$] (-1.5,2.5) -- (-1.5,1.5);
\draw (-1.5,0.5) -- (-1.5,1.5) to[R=$R$] (1, 1.5) -- (1,0) ;
\draw (-1,-0.5) -- (-1.5,-0.5) -- (-1.5,-1) node[ground]{};
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1,0) -- (1.5,0) node[right]{$V_S$} ;
\end{circuitikz}
\end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8 cm}
En posant par exemple Millman au nœud des quatre résistances, on a $V^-=\cfrac{\cfrac{V_{e1}}{R_1}+\cfrac{V_{e2}}{R_2}+\cfrac{V_{e3}}{R_3}+\cfrac{V_s}{R}}{\inv{R_1}+\inv{R_2}+\inv{R_3}+\inv{R}}$\\
Or, $V^-=V^+=0$\\
D'où $\cfrac{V_{e1}}{R_1}+\cfrac{V_{e2}}{R_2}+\cfrac{V_{e3}}{R_3}+\cfrac{V_s}{R}=0$\\
Ainsi, $V_s=-R\suite{\cfrac{V_{e1}}{R_1}+\cfrac{V_{e2}}{R_2}+\cfrac{V_{e3}}{R_3}}$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5 cm}\begin{center}
\textbf{Amplificateur différentiel (de différences)}\\
\begin{circuitikz} [scale = 0.8]
\draw (-3,0.5) node[left]{$V_{e2}$} to[R=$R_3$] (-1.5,0.5) -- (-1,0.5);
\draw (-1.5,0.5) -- (-1.5,1.5) to[R=$R_4$] (1, 1.5) -- (1,0) ;
\draw (-3,-0.5) node[left]{$V_{e2}$} to[R=$R_1$] (-1.5,-0.5) -- (-1,-0.5) ;
\draw (-1.5,-0.5) to[R=$R_2$] (-1.5,-1.5) node[ground ]{} ;
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1,0) -- (1.5,0) node[right]{$V_s$} ;
\end{circuitikz}\\ \ \\
On a $V_s=k_1V_{e1}-k_2V_{e2}$
\end{center}\end{minipage}

\subsection{Fonctionnement saturé}
En réaction positive (bouclage entre $V_s$ et $V^+$) ou ou sans réaction, l'amplificateur suit un mode saturé : il n'accède qu'à deux valeurs $V_s$ qui sont celles de son alimentation propre : $V_{sat+}$ et $V{sat-}$.
On a $V^+!=V^-$ et la valeur de $V_S$ est donnée selon le signe de la tension différentielle $\varepsilon=V^+-V^-$.\\

Ce fonctionnement a surtout une utilité de comparaison par rapport à une tension de référence.\\

A noter que \textbf{la réaction positive l'emporte sur la contre-réaction}.\\

\begin{minipage}[t]{5.5 cm}\begin{center}
\textbf{Comparateur simple dit à un seuil}\\
\begin{circuitikz}[scale=0.8]
\draw (-1.5,0.5) node[left]{$V_{ref}$} -- (-1,0.5) ;
\draw (-1.5,-0.5) node[left]{$V_e$} -- (-1,-0.5) ;
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1.5,0) node[right]{$V_s$} ;
\end{circuitikz}\\ \ \\
$V_e>V_ref \quad \Rightarrow \quad V_s=V_{sat+}$\\
$V_e<V_ref \quad \Rightarrow \quad V_s=V_{sat-}$
\end{center}\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{12.5 cm}\begin{center}
\textbf{Comparateur à deux seuils, dit Trigger de Schmitt}\\
\begin{minipage}[c]{5cm}\begin{circuitikz}[scale=0.8]
\draw (-1.5,0.5) node[left]{$V_{ref}$} -- (-1,0.5) ;
\draw (-3,-0.5) node[left]{$V_{e}$} to[R=$R_3$] (-1.5,-0.5) -- (-1,-0.5);
\draw (-1.5,-0.5) -- (-1.5,-1.5) to[R=$R_2$] (1, -1.5) -- (1,0) ;
\draw (0,0) node[op amp, scale=0.8] {} ;
\draw (1.5,0) node[right]{$V_s$} ;
\end{circuitikz}\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{5 cm}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale = 0.6]
\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right]{$V_e$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above]{$V_s$} ;

\draw[very thick, ->, color=green] (-3,-2) -- (1,-2) -- (1,2) -- (3,2) ;
\draw[very thick, ->, color=red] (3,2) -- (-1,2) -- (-1,-2) -- (-3,-2) ;
\draw (0,2) node[circ, fill, scale=0.5]{} node[below]{$V_{sat+}$} ;
\draw (0,-2) node[circ, fill, scale=0.5]{} node[below]{$V_{sat-}$} ;
\end{tikzpicture}\\
\underline{Chronogramme pour $V_{ref}=0$}
\end{center}\end{minipage}\\
Le comportement de basculement est identique pour $V^+$ par rapport à $V^-=V_{ref}$.\\
Cependant, la valeur de $V^+$ dépend cette fois de $V_e$ et de $V_s$.\\
Ainsi, on exprime le comportement selon la valeur de $V_e=f\su{V^+, V_s}$.

\end{center}\end{minipage}

\subsection{Amplification réelle}
\subsubsection{Gains}
\begin{minipage}[c]{6 cm}\begin{tikzpicture}
\draw (-1.5,-1) -- ++(3,0) -- ++(0,2) -- ++(-3,0) -- cycle ;
\draw (-2.5,0.5) node[left]{$V_a$} -- ++(1,0) ;
\draw (-2.5,-0.5) node[left]{$V_b$} -- ++(1,0) ;
\draw (1.5,0) -- ++(1,0) node[right]{$V_s$} ;
\draw (0,0) node[above]{Amplificateur} node[below]{de différence} ;
\end{tikzpicture}\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{12 cm}
On considère un montage amplificateur opérationnel.\\
Idéalement, on a un gain infini : il est possible de moduler totalement les relations linéaires entre les tensions.\\

De façon approximative ou simplifiée, on a une amplification maximale $A$ telle que $V_s=A\suite{V_a-V_b}=A\,V_d$.\\
De façon exacte, $V_a$ et $V_b$ sont amplifiées de façon différente, offrant plutôt une expression de la forme $V_s=A_1V_a+A_2V_b$
\end{minipage}\\ \ \\

Le but est ici d'exprimer cette amplification exacte en faisant apparaître $V_d$ pour la rapprocher du modèle simplifié.\\
On définit la tension d'entrée en mode commun $V_{mc}=\cfrac{V_a+V_b}{2}$, ce qui donne $V_a=V_{mc}-\cfrac{V_d}{2}$ \quad et \quad $V_b=V_{mc}+\cfrac{V_d}{2}$\\
L'expression exacte devient donc $V_s=\suite{A_1+A_2}V_{mc}+\cfrac{A_1-A_2}{2}V_d$\\
En posant $A_{mc}=A_1+A_2$ et $A_d=\cfrac{A_1-A_2}{2}$ les gains en tension des modes commun et différentiel, on a $V_s=A_{mc}V_{mc}+A_dV_d$\\
La forme aproximée est généralement vraie, avec un \underline{taux de réjection de mode commun} $TRMC=\abs{\cfrac{A_d}{A_{mc}}}$ très grand.\\


On travaille donc avec la forme $V_s=A_dV_d$. Le gain $A_d$ est plus précisément une fonction de transfert caractéristique d'un filtre passe-bas à cause des limitations des composants internes à l'amplificateur.\\
\begin{minipage}[c]{10 cm}
On a donc $A_d=\cfrac{A_0}{1+j\cfrac{f}{f_0}}$.\\
En ajoutant des éléments autour de l'amplificateur, on change le gain pour $A'=\cfrac{A_1}{1+j\cfrac{f}{f_1}}$\\
On remarque analytiquement la conservation du produit gain-bande passante : $A_0f_0=A_1f_1$.
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{8 cm}
\begin{tikzpicture}[scale = 0.4]
\draw[->] (-0.5,0) -- (15,0) node[right]{$f$};
\draw[->] (0,-0.5) -- (0,5) node[above]{$G_{dB}$} ;
\draw[thick] (-0.25,4.5) node[left]{$20\log\su{A_0}$} -- (7,4.5) -- (10,2.5);

\draw[very thick] (-0.25,2.5) node[left]{$20\log\su{A_1}$} -- (10,2.5) -- (14.5,-0.5) ;

\draw (-0.25,2) node[left]{$40$} -- (0.25,2) ;
\draw (-0.25,4) node[left]{$60$} -- (0.25,4) ;

\draw (2,0.25) node[above]{$0,01f_0$} -- (2,-0.25) ;
\draw (4.5,0.25) node[above]{$0,1f_0$} -- (4.5,-0.25) ;
\draw (7,0.25) node[above]{$f_0$} -- (7,-0.25) ;
\draw (9.5,0.25) node[above]{$10f_0$} -- (9.5,-0.25) ;
\draw (10,0.25) -- (10,-0.25) node[below]{$f_1$} ;
\draw (12,0.25) node[above]{$100f_0$} -- (12,-0.25) ;
\end{tikzpicture}
\end{minipage}



\subsubsection{Cas de l'amplificateur d'instrumentation}
C'est l'association de plusieurs amplificateurs opérationnels qui permet de passer outre le gain de mode commun.\\

Le premier étage est monté en série, comme dans l'association de quadripôles avec notamment une résistance variable considérée entre les deux entrées $V^-$ des deux amplificateurs. On obtient pour ce premier étage une amplification $V_d=\su{1+\cfrac{R_1+R_2}{r}}\su{e_1-e_2}$ qui a bien $a_{mc}=0$ et $A_d=1+\cfrac{R_1+R_2}{r}$\\

Les amplificateurs d'instrumentation sont des composants intégrés qui existent dans le commerce.

\subsubsection{Cas réel}
\begin{description}
\item[Gain en tension réel :] 2000 à 500\,000

\item[Résistance différentielle d'entrée :] $M\Omega=10^{6}\Omega$ pour bipolaire - $T\Omega=10^{12}\Omega$ pour unipolaire

\item[Résistance de sortie :] inférieure à l'$\Omega$

\item[Tension de décalage :] Avec $V^+=V^-=0$, on devrait avoir $V_s=0$. Seulement, une tension résiduelle reste en sortie à cause des courants de polarisation et des transistors constitutifs de l'AOP, qu'il faut annuler en appliquant à tension d'entrée.

\item[Courant de polarisation :] Dans un AOP réel, les intensités d'entrée sont petites mais pas nulles. On définit $I_{\rm polarisation}=\cfrac{I^++I^-}{2}$ le courant de polarisation.

\item[Réponse fréquentielle :] Le gain diminue avec la fréquence (comportement de filtre passe-bas). On remarque que le produit gain-bande passante $G\times\Delta f$ est constant, ce qui permet de choisir entre une grande bande passante ou une grande amplification.

\item["Slew Rate" (Vitesse de balayage - imperfection dynamique) :] La réponse de l'amplificateur n'est pas instantanée. La vitesse de balayage ou Slew Rate est définie à par $SR=\max\su{\dert{v}}$. 
\end{description}


\subsection{Oscillateur à réseau déphaseur}

Un oscillateur à réseau déphaseur est un oscillateur dont la chaîne directe est constituée d'un amplificateur inverseur. Pour respecter le critère de Barkhausen, la chaîne de retour doit nécessairement déphaser les signaux qui lui sont appliqués de $\pi$.


\subsubsection{Réseau déphaseur passe-bas}

L'oscillateur à réseau déphaseur passe-bas,représenté sur la figure \ref{fig:dephaseur1}, fonctionne avec un AO monté en inverseur. Déterminons tout d'abord la fonction de transfert de la chaîne de retour à partir de l'une de ses cellules (voir annexe \ref{chap:quadripoles}, page \pageref{chap:quadripoles}).


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(1,2)node[op amp](opamp1){}
(opamp1.out)--(3,2)
(opamp1.+)--(-0.2,0)
(-0.2,0)node[ground]{}
(2.7,4)to[R=$R_2$](-0.2,4)
(-2,2.5)to[R=$R_1$,-*](-0.2,2.5)
(-0.2,4)to[short](-0.2,2.5)
(2.7,4)to[short,-*](2.7,2)
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(5,2)to[R=$R$,*-](7,2)
(7,2)to[R=$R$,*-](9,2)
(5,2)to[C=$C$,*-](5,0)
(7,2)to[C=$C$,*-](7,0)
(9,2)to[C=$C$,*-](9,0)
(10,2)to[open,v^=$u_s$](10,0)
(5,0)node[ground]{}
(7,0)node[ground]{}
(9,0)node[ground]{}
(12,2.5)node[op amp](opamp2){}
(opamp2.+)--(9,2)
(opamp2.out)--(13.2,5)
(13.2,5)--(-2,5)
(-2,5)--(-2,2.5)
(13.2,4)to[short,*-](10,4)--(10,3)
(10,3)--(opamp2.-)
(3,0)node[ground]{}
(3,2)to[open,v=$u_e$](3,0)
;\end{circuitikz}
\caption{Oscillateur à r\'eseau d\'ephaseur passe-bas.}
\label{fig:dephaseur1}
\end{figure}


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(2,2)to[short,i=$i_1$](3,2)
(3,2)to[R=$R$](5,2)
(5,2)to[short,i=$i_2$](6,2)
(5,2)to[C=$C$,*-](5,0)
(6,2)to[open,v^=$u_2$](6,0)
(2,2)to[open,v=$u_1$](2,0)
(2,0)node[ground]{}
(5,0)node[ground]{}
;\end{circuitikz}
\caption{\'el\'ement RC.}
\label{fig:RC}
\end{figure}


Les lois de Kirchhoff, en régime sinusoïdal, appliquées à un seul élément $RC$ passe-bas de la chaîne, comme celui de la figure \ref{fig:RC}, donnent :

\[
\underline{u_2} = \underline{u_1} - R \, \underline{i_1} \quad \text{et} \quad \underline{i_2} = \underline{i_1} - jC \omega \, \underline{u_2} = \underline{i_1} \left( 1 + j RC \omega \right) - jC \omega \, \underline{u_1}
\]

ce qui s'écrit, sous forme matricielle, en introduisant la fréquence réduite $x = RC \omega$ :

\[
\begin{pmatrix}
\underline{u_2} \\
\underline{i_2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & -R \\
-jx/R \omega & 1+jx
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\underline{u_1} \\
\underline{i_1}
\end{pmatrix}
\]

Après traversée des trois cellules, la matrice de transfert a pour expression :

\[
\begin{pmatrix}
1 & -R \\
-jx/R \omega & 1+jx
\end{pmatrix}^3
=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]

avec: 

\[
\begin{cases}
a=1-x^2 + 3jx \\
b= 4 x^2 -jx(3-x^2) \\
c=-3+x^2 - 4jx \\
d= 1 -5x^2+jx(6-x^2)
\end{cases}
\]

On sait que le facteur d'amplification de l'ensemble des trois cellules est donné par l'inverse de l'élément $d$ de la matrice. On trouve donc :

\[
H_r(j \omega) = \frac{1}{1 -5x^2+jx(6-x^2)}
\]

Le critère de Barkhausen, $H_d(j \omega) H_r(j \omega) = 1$, avec $H_d = - \frac{R_2}{R_1}$ donne alors :

\[
H_d H_r = \frac{H_d}{1 -5x^2+jx(6-x^2)} = 1 \quad \text{d'où} \quad H_d = 1 -5x^2+jx(6-x^2)
\]

On en déduit :

\[
x^2 = 6 \quad \text{et} \quad H_d = - 29  \quad \text{d'où} \quad \omega = \frac{1}{RC \sqrt{6}} \quad \text{et} \quad \frac{R_2}{R_1} = 29
\]



\subsubsection{réseau déphaseur passe-haut}


Sur la figure \ref{fig:dephaseur2}, est représenté un oscillateur à réseau déphaseur passe-haut. Dans ce cas, il n'est pas nécessaire d'utiliser un suiveur car la résistance d'attaque de l'AO est la résistance de la dernière cellule RC.

\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(1,2)node[op amp](opamp1){}
(opamp1.out)--(3,2)
(opamp1.+)--(-0.2,0)
(-0.2,0)node[ground]{}
(2.7,4)to[R=$R_2$](-0.2,4)
(-3.5,2.5)to[R=$R$,-*](opamp1.-)
(-0.2,4)to[short](-0.2,2.5)
(2.7,4)to[short,-*](2.7,2)
(3,2)to[C=$C$](5,2)
(5,2)to[C=$C$,*-](7,2)
(7,2)to[C=$C$,*-](9,2)
(5,2)to[R=$R$,*-](5,0)
(7,2)to[R=$R$,*-](7,0)
(-3.5,2.5)--(-3.5,5)--(9,5)--(9,2)
(opamp1.-)to[open,v=$u_r$](-0.2,0)
(5,0)node[ground]{}
(7,0)node[ground]{}
(3,0)node[ground]{}
(3,2)to[open,v^=$u_d$](3,0)
;\end{circuitikz}
\caption{Oscillateur à r\'eseau d\'ephaseur passe-haut.}
\label{fig:dephaseur2}
\end{figure}


\begin{figure}[!hbtp]
\centering
\begin{circuitikz}
\draw
(2,2)to[short,i=$i_1$](3,2)
(3,2)to[C=$C$](5,2)
(5,2)to[short,i=$i_2$](6,2)
(5,2)to[R=$R$,*-](5,0)
(6,2)to[open,v^=$u_2$](6,0)
(2,2)to[open,v=$u_1$](2,0)
(2,0)node[ground]{}
(5,0)node[ground]{}
;\end{circuitikz}
\caption{\'el\'ement CR.}
\label{fig:RC2}
\end{figure}

Les lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal, appliquées à un élément $CR$ passe-haut, comme celui de la figure \ref{fig:RC2}, de la chaîne donnent :

\[
\underline{u_2} = \underline{u_1} -\frac{\underline{i_1}}{jC \omega} \,  \quad \text{et} \quad \underline{i_2} = \underline{i_1} - \frac{\underline{u_2}}{R}  = \underline{i_1} \left( 1 + \frac{1}{ j RC \omega} \right) - \frac{ \underline{u_1}}{R}
\]

ce qui s'exprime, sous forme matricielle, en introduisant la fréquence réduite $x = RC \omega$ :

\[
\begin{pmatrix}
\underline{u_2} \\
\underline{i_2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & jx/R \\
-1/R \omega & 1 -j/x
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\underline{u_1} \\
\underline{i_1}
\end{pmatrix}
\]

La matrice de transfert de l'ensemble des trois cellules s'en déduit selon :

\[
\begin{pmatrix}
1 & jx/R \\
-1/R \omega & 1 -j/x
\end{pmatrix}^3
=1 - 6x^2 + jx(5-x^2)
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\]

avec: 

\[
\begin{cases}
a=1-\frac{1}{x^2} - j \frac{3}{x} \\
\\
b= \frac{4R}{x^2} -j\frac{3R}{x} \\
\\
c=-\frac{3}{R}+ \frac{1}{Rx^2} + j \frac{4R}{x} \\
\\
d= \frac{1 - 6x^2 + jx(5-x^2)}{-jx^3}
\end{cases}
\]

On en déduit :

\[
H_r(j \omega) = \frac{1}{d} = \frac{-jx^3}{1 - 6x^2 + jx(5-x^2)}
\]

Le critère de Barkhausen, $H_d(j \omega) H_r(j \omega) = 1$, donne, en explicitant partie réelle et partie imaginaire :

\[
1 - 6x^2 = 0 \quad \text{d'où} \quad \omega = \frac{1}{RC \sqrt{6}} \quad \text{et} \quad H_r = - \frac{R_2}{R} = \frac{-jx^3}{jx(5-x^2)} = - \frac{1}{29}
\]
